Dubbio sul'applicabilità del metodo dei fratti semplici

[mobley]

Ho la seguente equazione differenziale:

$y''(x)+(y'(x))^2=y'(x)$

Pongo $y'=z$, da cui $y''=z'$. Dunque $z'+z^2=z->z'=z-z^2->(z')/(z-z^2)=1->int (dz)/(z-z^2)=int dx$

Perché non posso mettere in evidenza in $D(x)$ la $z$ e applicare il metodo dei fratti semplici con $A/z+B/(1-z)$?
Qualcuno può aiutarmi con lo svolgimento di quell'integrale? Wolfram lo riscrive come $1/4-(x+1/2)^2$....

[@melia]

Non so che cosa hai scritto su Wolfram, a me dà lo stesso risultato che ottengo a mano calcolando con i fratti semplici.

[mobley]

Senza dubbio sono io che sbaglio. Ma dove?
Provo ad andare avanti col metodo dei fratti semplici:

$int (dz)/(z-z^2)=int (dz)/(z(1-z))=A/z+B/(1-z)=(A(1-z)+Bz)/(z(1-z))=(A-zA+Bz)/(z(1-z))=(z(-A+B)+A)/(z(1-z))$ da cui

$ { ( -A+B=1 ),( A=0 ):}{ ( B=1 ),( A=0 ):}->log(1-z)=log(x)+c $

Poi $1-z=e^(log(x)+c)->-z=e^(log(x)+c)-1->z=-e^(log(x)+c)+1->z=-e^cx+1$

Quindi $y=int (-e^cx+1)dx=-[int(e^c-1)dx]=-[inte^cxdx-intdx]=-[e^(c_(\1))intx-x+c_(\2)]=-[e^(c_(\1))(x^2)/(2)-(x+c_(\2))]=-e^(c_(\1))(x^2/2)-x-c_(\2)$

Il risultato sarebbe $log(c_(\1)e^x+1)+c_(\2))$.

[@melia]

Ma da $ (z(-A+B)+A)/(z(1-z))= 1/(z(1-z) $ come puoi ricavare quel sistema, sarà
$ { ( -A+B=0 ),( A=1 ):} =>{ ( B=1 ),( A=1 ):}$

[mobley]

...è vero!!! Ma come faccio a sbagliare queste cose?

Grazie @melia, ora provo a rifarlo cambiando il sistema

[mobley]

Credo di essere lontano dalla soluzione. Allora, dopo la correzione di @melia:

$ { ( B=1 ),( A=1 ):} -> log(z)+log(1-z)=log(x)+c -> log(z(1-z))=log(x)+c -> log(z-z^2)=log(x)+c -> z-z^2=e^(log(x)+c) -> z^2-z=-e^(log(x)+c) $

Il primo membro potrebbe essere un quadrato di binomio, quindi

$z^2-z+1/4=-e^(log(x)+c)+1/4->(z-1/2)^2=-e^(log(x)+c)+1/4->z-1/2=root()(-e^cx+1/4)->$

$z=root()(-e^cx+1/4)+1/2$

Poi $y=int(root()(-e^cx+1/4)+1/2)dx=-[int(root()(e^cx-1/4)-1/2)dx]=-[introot()(e^cx-1/4)dx-int1/2dx]=-[((e^(c_(\1))x-1/4)^(3/2))/(3/2)-1/2x+c_(\2)]=-[2/3(e^(3/2(log(x)+c_(\1)))-(1/4)^(3/2)-1/2x+c_(\2))]$