Dubbio sul tipo di campo vettoriale
Ho il seguente campo vettoriale
$\vec F = ( \frac{9x}{\sqrt(9x^2+4y^2)} ,\frac{4y}{\sqrt(9x^2+4y^2)})$ definito in $\Omega $ (che sarebbe $\RR^2$ privato dell' origine)
e voglio sapere se è conservativo.
Per fare questo ho prima calcolato $ frac{del P}{del y}$ e $ frac{del Q}{del x}$
dove P e Q sono rispettivamente prima e seconda componente del campo.
Dato che le due derivate parziali coincidono posso dire che il campo è irrotazionale in $\Omega$ .
Successivamente, dato che ho verificato che esiste un potenziale del campo $\vec F$, mi verrebbe da dire che il
campo è anche conservativo.
Ma nello stesso tempo $\Omega$ non è connesso (quindi neanche semplicemente connesso) e questo fatto mi mette in difficoltà.
Qualcuno può darmi delle delucidazioni?
Vi ringrazio in anticipo
$\vec F = ( \frac{9x}{\sqrt(9x^2+4y^2)} ,\frac{4y}{\sqrt(9x^2+4y^2)})$ definito in $\Omega $ (che sarebbe $\RR^2$ privato dell' origine)
e voglio sapere se è conservativo.
Per fare questo ho prima calcolato $ frac{del P}{del y}$ e $ frac{del Q}{del x}$
dove P e Q sono rispettivamente prima e seconda componente del campo.
Dato che le due derivate parziali coincidono posso dire che il campo è irrotazionale in $\Omega$ .
Successivamente, dato che ho verificato che esiste un potenziale del campo $\vec F$, mi verrebbe da dire che il
campo è anche conservativo.
Ma nello stesso tempo $\Omega$ non è connesso (quindi neanche semplicemente connesso) e questo fatto mi mette in difficoltà.
Qualcuno può darmi delle delucidazioni?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Allora , è molto semplice.
Il dominio non è connesso, quindi per determinare se è conservativo devi verificare che sia C1 e che ammetta potenziale.
Se il dominio fosse connesso invece il campo sarebbe conservativo se e solo se irrotazionale
Il dominio non è connesso, quindi per determinare se è conservativo devi verificare che sia C1 e che ammetta potenziale.
Se il dominio fosse connesso invece il campo sarebbe conservativo se e solo se irrotazionale
"Francuzzoz":
Allora , è molto semplice.
Il dominio non è connesso, quindi per determinare se è conservativo devi verificare che sia C1 e che ammetta potenziale.
Prima mi son sbagliato a scrivere che non è connesso, dovrebbe essere connesso o sbaglio?
Dato che per ogni coppia di punti di $\Omega$ esiste almeno una curva che li congiunge, contenuta in $\Omega$.
Il potenziale me lo sono ricavato, e anche questo deve essere differenziabile, esatto?
"Francuzzoz":
Se il dominio fosse connesso invece il campo sarebbe conservativo se e solo se irrotazionale
Ti stai confondendo con l' insieme semplicemente connesso per caso?
"Alxxx28":
[quote="Francuzzoz"]
Se il dominio fosse connesso invece il campo sarebbe conservativo se e solo se irrotazionale
Ti stai confondendo con l' insieme semplicemente connesso per caso?[/quote]Si. La proposizione che dice Francuzzo vale se il dominio è semplicemente connesso, che è cosa diversa dal dire connesso e basta. Comunque il tuo dominio è connesso e non semplicemente connesso.
Forse questa discussione può esserti d'aiuto:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#444685
"dissonance":
[quote="Alxxx28"][quote="Francuzzoz"]
Se il dominio fosse connesso invece il campo sarebbe conservativo se e solo se irrotazionale
Ti stai confondendo con l' insieme semplicemente connesso per caso?[/quote]Si. La proposizione che dice Francuzzo vale se il dominio è semplicemente connesso, che è cosa diversa dal dire connesso e basta. Comunque il tuo dominio è connesso e non semplicemente connesso.
Forse questa discussione può esserti d'aiuto:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#444685[/quote]
Si ovviamente parlavo del semplicemente connesso, avevo dato per ovvio che non lo fosse, dato che dicevi che non era connesso.
Tra l'altro è ovviamente connesso, ma non semplicemente connesso. Avevo risposto di fretta
Comunque vale quello che ho detto prima, solo scambia connesso con semplicemente connesso
Dunque mi basta calcolare l' integrale di [tex]\omega[/tex] (dove [tex]\omega=Pdx+Qdy[/tex]) lungo una circonferenza centrata in [tex](0,0)[/tex] di raggio [tex]r>0[/tex], e se questo è nullo allora posso dire che [tex]\omega[/tex] è esatta, ovvero il campo [tex]\vec F[/tex] è conservativo.
E ciò significa che, per dire che un campo (definito come in questo caso in un insieme connesso ma non semplicemente connesso) è conservativo , non è sufficiente trovare un potenziale?
Mi sa tanto che c' è qualche lacuna nel mio ragionamento
PS: Si parla di circuitazione solo se l' integrale della forma differenziale è calcolato lungo una curva chiusa esatto? come in questo caso
E ciò significa che, per dire che un campo (definito come in questo caso in un insieme connesso ma non semplicemente connesso) è conservativo , non è sufficiente trovare un potenziale?
Mi sa tanto che c' è qualche lacuna nel mio ragionamento
PS: Si parla di circuitazione solo se l' integrale della forma differenziale è calcolato lungo una curva chiusa esatto? come in questo caso
"Alxxx28":Si, c'è una incomprensione di fondo. Se tu di un campo vettoriale, o di una forma differenziale (in fondo è la stessa cosa), trovi un potenziale esplicito, hai ottenuto il risultato più preciso possibile: il campo vettoriale è conservativo perché ne conosci un potenziale con nome e cognome. Le tecniche basate sulle circuitazioni servono a permetterti di dire se un campo è conservativo o meno pur senza conoscerne esplicitamente un potenziale.
Dunque mi basta calcolare l' integrale di [tex]\omega[/tex] (dove [tex]\omega=Pdx+Qdy[/tex]) lungo una circonferenza centrata in [tex](0,0)[/tex] di raggio [tex]r>0[/tex], e se questo è nullo allora posso dire che [tex]\omega[/tex] è esatta, ovvero il campo [tex]\vec F[/tex] è conservativo.
E ciò significa che, per dire che un campo (definito come in questo caso in un insieme connesso ma non semplicemente connesso) è conservativo , non è sufficiente trovare un potenziale?
Mi sa tanto che c' è qualche lacuna nel mio ragionamento
PS: Si parla di circuitazione solo se l' integrale della forma differenziale è calcolato lungo una curva chiusa esatto? come in questo casoSi. Altrimenti si parla di integrale di linea o di integrale curvilineo.
"dissonance":
Si, c'è una incomprensione di fondo. Se tu di un campo vettoriale, o di una forma differenziale (in fondo è la stessa cosa), trovi un potenziale esplicito, hai ottenuto il risultato più preciso possibile: il campo vettoriale è conservativo perché ne conosci un potenziale con nome e cognome. Le tecniche basate sulle circuitazioni servono a permetterti di dire se un campo è conservativo o meno pur senza conoscerne esplicitamente un potenziale.
Ah ecco, finalmente mi è quasi tutto chiaro. Dico quasi tutto perchè non sono convinto riguardo al caso in cui succede che
l' insieme di definizione di [tex]\vec F[/tex] è diverso da quello del potenziale.
Ad esempio, il potenziale del campo [tex]\vec F[/tex] che ho scritto all' inizio è definito in tutto il piano, e di conseguenza devo specificare
che [tex]\vec F[/tex] è conservativo solo nel suo insieme di definizione, vero?
Beh è ovvio che se un campo non è nemmeno definito da qualche parte lì non sarà nemmeno conservativo, certo.
Ok grazie mille!
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