Dubbio sul Teorema di Poincaré

[foxxucv]

Ciao a tutti,
ho un dubbio su quando è possibile applicare il Teorema di Poincaré.

Mi spiego meglio: so di poterlo applicare nel momento in cui mi trovo davanti un campo vettoriale $conservativo$ in due variabili del tipo $F(x,y) = (F_1, F_2)$, faccio il controllo che $(delF_1)/(dely) = (delF_2)/(delx)$, (tra l'altro, non ho capito se posso fare il controllo anche con $(delF_1)/(delx) = (delF_2)/(dely)$ ma immagino di no), il mio dubbio era se è applicabile anche per campi vettoriali in tre variabili ed in caso che controlli vanno fatti.

[fmnq]

C'è un motivo, se un campo vettoriale si dice conservativo quando $\partial_yF_1 = \partial_xF_2$; questo motivo è geometrico, e non è sostituibile con la condizione che $\partial_xF_1 = \partial_yF_2$, che non avrebbe lo stesso significato.

E' un po' come se stessi chiedendo "quando calcolo un integrale, e uso l'integrazione per parti volendo trovare \(\int f'g\), devo calcolare \(fg - \int fg'\); e però, se invece del segno meno mettessi il più, cosa accadrebbe?"

Non accadrebbe niente, in generale, perché quello che stai facendo ha perso il significato che aveva prima.

E infine sì, la regola che incrocia le derivate è una cosa che si generalizza, ma ci vuole un po' di linguaggio.