Dubbio sul teorema di Lagrange

[svarosky90]

Buongiorno . Stamani mentre studiavo analisi mi sono imbattuto nel teorema di Lagrange ( o del valor medio). Ora mi sono guardato la dimostrazione e il significato geometrico. La mia domanda è questa. Perchè viene anche definito teorema del valor medio? Proprio non riesco a capire .
Grazie a chiunque risponda

[elvis3]

Supponiamo di fare un viaggio lungo una retta. La funzione [tex]F \colon [a,b] \to \mathbb{R}[/tex] indica la nostra posizione ad ogni istante (partiamo all'istante [tex]a[/tex], arriviamo all'istante [tex]b[/tex]).
La velocità media del viaggio è [tex]v_m = (F(b) - F(a)) / (b - a)[/tex].
Intuitivamente pensiamo che ci sarà stato almeno un istante [tex]t_0 \in [a,b][/tex] in cui andavamo a velocità [tex]v_m[/tex].
Ecco, questo è proprio quello che ci dice il teorema di Lagrange: esiste [tex]t_0 \in [a,b][/tex] tale che [tex]F'(t_0) = (F(b) - F(a)) / (b - a) = v_m[/tex]. (ovviamente, se [tex]F[/tex] è lo spazio percorso, [tex]F'[/tex] è la velocità).

Osserva che se il viaggio avviene a velocità costante [tex]v[/tex], abbiamo [tex]F'(t) = (F(b) - F(a)) / (b - a) = v[/tex] per ogni [tex]t \in [a,b][/tex].

[svarosky90]

quindi intuitivamente è come dire che se viaggio in autostrada e alla fine la velocità media è di 130km/h allora almeno una volta nel tragitto ho tenuto una velocità istantanea di 130km/h?

[elvis3]

Proprio così.