Dubbio sul teorema di Dini
Salve avrei un dubbio riguardo il teorema di Dini.
L'enunciato dice che se abbiamo una funzione $f$ di classe $C1$ in una regione $\Omega$ e la varietà unidimensionale $V1$ di $R2$ di equazione $f(x,y)=0$ allora per ogni punto $p_0inV1$ ,interno a $\Omega$ ,esiste un intorno $J$ di $p_0$ tale che l'insieme $JnnV1$ è il diagramma rispetto a uno degli assi coordinati, di una funzione definita in un intervallo chiuso di $R$ ed ivi di classe $C1$.
Ho cominciato a pensare se si potesse estendere questo anche ai punti della frontiera.
Ad esempio prendiamo come insieme di definizione $\Omega$ il cerchio e supponiamo che la varietà sia proprio costituita dai punti della frontiera.
Intuitivamente mi viene da pensare che sia vero dato che esistono intorni che contengono parti della varietà(la circonferenza) che almeno localmente descrivono il diagramma di una funzione rispetto ad uno degli assi.
L'enunciato dice che se abbiamo una funzione $f$ di classe $C1$ in una regione $\Omega$ e la varietà unidimensionale $V1$ di $R2$ di equazione $f(x,y)=0$ allora per ogni punto $p_0inV1$ ,interno a $\Omega$ ,esiste un intorno $J$ di $p_0$ tale che l'insieme $JnnV1$ è il diagramma rispetto a uno degli assi coordinati, di una funzione definita in un intervallo chiuso di $R$ ed ivi di classe $C1$.
Ho cominciato a pensare se si potesse estendere questo anche ai punti della frontiera.
Ad esempio prendiamo come insieme di definizione $\Omega$ il cerchio e supponiamo che la varietà sia proprio costituita dai punti della frontiera.
Intuitivamente mi viene da pensare che sia vero dato che esistono intorni che contengono parti della varietà(la circonferenza) che almeno localmente descrivono il diagramma di una funzione rispetto ad uno degli assi.
Risposte
Ho ipotizzato che la questione relativa alla validità del teorema nei punti di frontiera del dominio fosse dovuta a problematiche riguardanti l'esistenza delle derivate parziali nei suddetti punti.
Ipotizzando quindi che le derivate parziali siano prolungabili nei suddetti punti (non tutti,solo quelli che almeno localmente descrivono il diagramma di una funzione rispetto ad uno degli assi coordinati)per continuità dall'interno allora le derivate parziali esistono in questi punti.
Quindi alla luce di questa precisazione vorrei sapere se il teorema di Dini possa valere o no in questi punti.
Ipotizzando quindi che le derivate parziali siano prolungabili nei suddetti punti (non tutti,solo quelli che almeno localmente descrivono il diagramma di una funzione rispetto ad uno degli assi coordinati)per continuità dall'interno allora le derivate parziali esistono in questi punti.
Quindi alla luce di questa precisazione vorrei sapere se il teorema di Dini possa valere o no in questi punti.
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