Dubbio sul teorema dei residui
Ciao a tutti!
Ho un dubbio sul calcolo di integrali che non hanno poli in C.
Ad esempio, ho questo integrale qui:
$int(3*z' + 2)dz$
e mi si chiede di calcolarlo su y che è il cammino semplice avente come supporto la circonferenza centrata in zero e di raggio unitario.
Io sono portato subito a dire che, visto che non ha poli che cadono all'interno della circonferenza, per il teorema dei residui tutto quell'integrale lì fa zero.
C'è invece chi sostiene che deve essere calcolato effettuando la sostituzione di z con $e^(i*(teta))$ e calcolarlo come si faceva in R. Ma non dovrebbe essere sbagliato?
La soluzione non dovrebbe essere zero?
Vi ringrazio
Ho un dubbio sul calcolo di integrali che non hanno poli in C.
Ad esempio, ho questo integrale qui:
$int(3*z' + 2)dz$
e mi si chiede di calcolarlo su y che è il cammino semplice avente come supporto la circonferenza centrata in zero e di raggio unitario.
Io sono portato subito a dire che, visto che non ha poli che cadono all'interno della circonferenza, per il teorema dei residui tutto quell'integrale lì fa zero.
C'è invece chi sostiene che deve essere calcolato effettuando la sostituzione di z con $e^(i*(teta))$ e calcolarlo come si faceva in R. Ma non dovrebbe essere sbagliato?
La soluzione non dovrebbe essere zero?
Vi ringrazio
Risposte
Il teorema di Cauchy vale per funzioni analitiche. Non è il caso di $z^("*")$, che è non analitica per antonomasia.
Puoi provare con la sostituzione (è un utile esercizio); sotto ti dò un suggerimento che snellisce il calcolo:
Puoi provare con la sostituzione (è un utile esercizio); sotto ti dò un suggerimento che snellisce il calcolo:
grazie per la risposta...
quindi visto che z coniugato non è analitica, non posso applicare il teorema dei residui... e quindi lo devo calcolare come se fosse in R?
per area inclusa in yc intendi, quindi, l'area della circonderenza?
quindi visto che z coniugato non è analitica, non posso applicare il teorema dei residui... e quindi lo devo calcolare come se fosse in R?
per area inclusa in yc intendi, quindi, l'area della circonderenza?
"rocco.g":
lo devo calcolare come se fosse in R?
Si. Ricorda comunque che il calcolo per via parametrica non è mai sbagliato, per funzioni analitiche il risultato è lo stesso che si ottiene calcolando i residui (anche se in genere il primo metodo è improponibile).
"rocco.g":
per area inclusa in yc intendi, quindi, l'area della circonderenza?
Si.
"elgiovo":
Il teorema di Cauchy vale per funzioni analitiche. Non è il caso di $z^("*")$, che è non analitica per antonomasia.
Puoi provare con la sostituzione (è un utile esercizio); sotto ti dò un suggerimento che snellisce il calcolo:
potresti spiegarmi meglio quello che intendi?
cioè in questo caso non sarebbe pi-greco * r^2 l'area? e devo tralasciare tutto il resto?
cioè da dove deriva questa formula?
In questo caso l'integrale vale $oint_("circonf.")(3bar z + 2) "d"z=oint_("circonf.")3 bar z "d"z + oint_("circonf.") 2 dz=3 cdot 2 cdot i cdot 2 pi=12 cdot i cdot pi$, dal momento che $oint_("circonf.") 2 dz=0$ per il teorema di Cauchy.
La formula per $oint_(Gamma) bar z dz$ si trova in "Visual Complex Analysis": non la riporto perchè è necessario l'ausilio delle immagini.
Puoi provare la formula per via parametrica nel caso in cui $Gamma$ sia una circonferenza centrata nell'origine: $oint_Gamma bar z dz=int_0^(2pi) R e^(- i t) i R e^(i t)dt=ldots$
La formula per $oint_(Gamma) bar z dz$ si trova in "Visual Complex Analysis": non la riporto perchè è necessario l'ausilio delle immagini.
Puoi provare la formula per via parametrica nel caso in cui $Gamma$ sia una circonferenza centrata nell'origine: $oint_Gamma bar z dz=int_0^(2pi) R e^(- i t) i R e^(i t)dt=ldots$
ottimo, questa formula è veramente ottima 
ma vale solo per circonferenze centrate in zero o per qualsiasi tipo di curva di cui si possa calcolare l'area?
ma vale solo per circonferenze centrate in zero o per qualsiasi tipo di curva di cui si possa calcolare l'area?
"rocco.g":
ottimo, questa formula è veramente ottima
Concordo
"rocco.g":
ma vale solo per circonferenze centrate in zero o per qualsiasi tipo di curva di cui si possa calcolare l'area?
Vale per qualsiasi curva chiusa nel piano complesso.
"elgiovo":
In questo caso l'integrale vale $oint_("circonf.")(3bar z + 2) "d"z=oint_("circonf.")3 bar z "d"z + oint_("circonf.") 2 dz=3 cdot 2 cdot i cdot 2 pi=12 cdot i cdot pi$, dal momento che $oint_("circonf.") 2 dz=0$ per il teorema di Cauchy.
La formula per $oint_(Gamma) bar z dz$ si trova in "Visual Complex Analysis": non la riporto perchè è necessario l'ausilio delle immagini.
Puoi provare la formula per via parametrica nel caso in cui $Gamma$ sia una circonferenza centrata nell'origine: $oint_Gamma bar z dz=int_0^(2pi) R e^(- i t) i R e^(i t)dt=ldots$
in questo caso, non sarebbe:
$3 * 2 * i * pi$ visto che l'area è pigreo * r^2 ed r è unitario?
"rocco.g":
in questo caso, non sarebbe:
$3 * 2 * i * pi$ visto che l'area è pigreo * r^2 ed r è unitario?
Ci manca un $2$: $oint_(Gamma_C) bar z dz=2 i A_(Gamma_C)$.
"elgiovo":
[quote="rocco.g"]
in questo caso, non sarebbe:
$3 * 2 * i * pi$ visto che l'area è pigreo * r^2 ed r è unitario?
Ci manca un $2$: $oint_(Gamma_C) bar z dz=2 i A_(Gamma_C)$.[/quote]
allora forse non capisco io
l'integrale di partenza era: $int(3*z' +2)*dz$
sapendo che $int(z')dz = 2*i*A$
non risulta: $int(3*z')*dz = 2 * i * pi * 1^2 * 3$ ?
supponendo che l'area della circonferenza è $A = pi*r^2$ quindi mi ritrovo un 2 in meno rispetto a quello che avevi scritto te, e non capisco perchè
in effetti, integrando per parti, mi vien fuori lo stesso valore se considero quello che ho scritto io, altrimenti considerando il 2 in più mi esce il doppio...
Hai ragione, ho messo un 2 di troppo. 
ah ok, meno male...
perchè ho fatto varie prove e mi usciva sempre un risultato coincidente con quello che facevamo senza il due però...
va bien, cmq grazie mille per la formula, è ottima!!!
oltre che veloce!
ma è una formula a cui si arriva per calcoli o c'è un supporto teorico? così se lo scrivo nel compito il prof capisce che non ho detto una cazz.ata
perchè ho fatto varie prove e mi usciva sempre un risultato coincidente con quello che facevamo senza il due però...
va bien, cmq grazie mille per la formula, è ottima!!!
oltre che veloce!
ma è una formula a cui si arriva per calcoli o c'è un supporto teorico? così se lo scrivo nel compito il prof capisce che non ho detto una cazz.ata
Come ti ho detto sopra, la dimostrazione che conosco si trova in "Visual Complex Analysis", di T. Needham, e fa uso di figure (come tutto il libro del resto). Purtroppo non l'ho mai vista in altri libri. Non ci metterei la mano sul fuoco, ma se cerchi nella biblioteca del tuo dipartimento forse lo trovi.
ti ringrazio
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