Dubbio sul T. di Dini
Salve a tutti,
il dubbio che ho riguarda l'importanza del fatto che $(x_0,y_0)$ non sia critico.
Più precisamente:
Sia $f:A \sub R^2 \to R$ e sia $A$ aperto, $f \in C^1(A)$.
Supponiamo che l'equazione $f(x,y)=0$ definisca implicitamente una funzione della sola variabile $x$.
Questo vuol dire che esiste una funzione $g:B \sub R \to R$ tale che
$f(x,y)=y-g(x)$
Quello che mi chiedo è: " può essere che $\nabla f(x,y)=0 $ "?
Vediamo...
$f_x(x,y)=-g'(x)$
$f_y(x,y)=1$
Quindi se fosse $\nabla f(x,y)=0 $ avrei anche $1=0$ che è assurdo.
Sicchè (se il ragionamento che ho fatto è corretto)
la richiesta "$f(x,y)=y-g(x)$" implica automaticamente $\nabla f(x,y)!=0 $
Ora, questo fatto mi è chiaro analiticamente, ma non geometricamente!
In pratica, non capisco che cosa succederebbe a livello grafico , se fosse $\nabla f(x,y)=0 $ !
Qualcuno potrebbe provare a spiegarmelo, per favore?
Grazie a tutti
il dubbio che ho riguarda l'importanza del fatto che $(x_0,y_0)$ non sia critico.
Più precisamente:
Sia $f:A \sub R^2 \to R$ e sia $A$ aperto, $f \in C^1(A)$.
Supponiamo che l'equazione $f(x,y)=0$ definisca implicitamente una funzione della sola variabile $x$.
Questo vuol dire che esiste una funzione $g:B \sub R \to R$ tale che
$f(x,y)=y-g(x)$
Quello che mi chiedo è: " può essere che $\nabla f(x,y)=0 $ "?
Vediamo...
$f_x(x,y)=-g'(x)$
$f_y(x,y)=1$
Quindi se fosse $\nabla f(x,y)=0 $ avrei anche $1=0$ che è assurdo.
Sicchè (se il ragionamento che ho fatto è corretto)
la richiesta "$f(x,y)=y-g(x)$" implica automaticamente $\nabla f(x,y)!=0 $
Ora, questo fatto mi è chiaro analiticamente, ma non geometricamente!
In pratica, non capisco che cosa succederebbe a livello grafico , se fosse $\nabla f(x,y)=0 $ !
Qualcuno potrebbe provare a spiegarmelo, per favore?
Grazie a tutti
Risposte
Il teorema del Dini non dice che $f(x,y) = y-g(x)$.
Sia $f(x_0,y_0) = 0$ t.c. $\nabla f(x_0,y_0) \ne (0,0)$, e indica con $\Gamma = \{(x,y): f(x,y) = 0\}$ il livello $0$ di $f$.
Allora esiste un intorno $Q$ del punto $(x_0,y_0)$ tale che $\Gamma\cap Q$ è il grafico di una funzione del tipo $y=g(x)$ oppure $x = h(y)$.
Per vedere cosa può andare male senza l'ipotesi sul gradiente, prova a considerare $f(x,y) = x^2-y^2$, $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Sia $f(x_0,y_0) = 0$ t.c. $\nabla f(x_0,y_0) \ne (0,0)$, e indica con $\Gamma = \{(x,y): f(x,y) = 0\}$ il livello $0$ di $f$.
Allora esiste un intorno $Q$ del punto $(x_0,y_0)$ tale che $\Gamma\cap Q$ è il grafico di una funzione del tipo $y=g(x)$ oppure $x = h(y)$.
Per vedere cosa può andare male senza l'ipotesi sul gradiente, prova a considerare $f(x,y) = x^2-y^2$, $(x_0,y_0)=(0,0)$.
All'esempio di Rigel aggiungo questo: $f(x,y)=x^2 + y^2$, con $(x_0,y_0)=(0,0)$.
La questione che poni mi porta a chiedere (non so se è quello che volevi dire):
- se sappiamo che l'equazione $f(x,y)=0$ è localmente esplicitabile come funzione, la condizione che il gradiente non si annulli è CN affinché questa funzione sia derivabile (o sia $C^1$)
La questione che poni mi porta a chiedere (non so se è quello che volevi dire):
- se sappiamo che l'equazione $f(x,y)=0$ è localmente esplicitabile come funzione, la condizione che il gradiente non si annulli è CN affinché questa funzione sia derivabile (o sia $C^1$)
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