Dubbio sul simbolo di infinito
Il problema è il seguente.
In giro trovo scritte espressioni del tipo
\[ \lim_{x \rightarrow x_0}\ f(x) = L < \infty \]
Ma \( \infty \) è un simbolo, pertanto come devo interpretare da un punto di vista puramente formale tale disuguaglianza?
È ovvio che si intende dire che il limite è finito, ma io cerco una giustificazione formale dell'utilizzo di tale simbologia.
In giro trovo scritte espressioni del tipo
\[ \lim_{x \rightarrow x_0}\ f(x) = L < \infty \]
Ma \( \infty \) è un simbolo, pertanto come devo interpretare da un punto di vista puramente formale tale disuguaglianza?
È ovvio che si intende dire che il limite è finito, ma io cerco una giustificazione formale dell'utilizzo di tale simbologia.
Risposte
Prendila come una notazione un po' colorita (e breve) usata per porre l'accento sul fatto che il limite $L$ è finito.
"Seneca":
Prendila come una notazione un po' colorita (e breve) usata per porre l'accento sul fatto che il limite $L$ è finito.
Allora tanto vale scrivere
\[ \lim_{x \rightarrow x_0}\ f(x) = L \in \mathbb{R} \]
La mia idea è di utilizzare il concetto di retta reale ampliata: in pratica, considero l'insieme \( \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \), ma con questo tipo di ampliamento non posso introdurre una relazione d'ordine totale che mantenga le già note proprietà dei numeri reali.
Risolvo il problema della relazione d'ordine se faccio un ampliamento del tipo \( \mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty \} \), ma comunque il simbolo \( \infty \) non farebbe parte di tale ampliamento.
Sì, vabbé... Ma quante storie. 
Una volta definito l'uso del simbolo \(<\infty\) (che, poi, vuol dire \(<+\infty\) in notazione italiana*) mediante \(l<\infty \quad \text{se e solo se} \quad l\in \mathbb{R}\cup \{-\infty\}\), non vedo che difficoltà ci sia ad adoperarlo.
Analogo discorso col simbolo \(>-\infty\).
__________
* Infatti la notazione \(\infty\) al posto del più pesante \(+\infty\) si trova massimamente nei testi scritti in inglese.
Una volta definito l'uso del simbolo \(<\infty\) (che, poi, vuol dire \(<+\infty\) in notazione italiana*) mediante \(l<\infty \quad \text{se e solo se} \quad l\in \mathbb{R}\cup \{-\infty\}\), non vedo che difficoltà ci sia ad adoperarlo.
Analogo discorso col simbolo \(>-\infty\).
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* Infatti la notazione \(\infty\) al posto del più pesante \(+\infty\) si trova massimamente nei testi scritti in inglese.
Eccoci, ora ci siamo.
Come mai questa esigenza così spinta di giustificare finanche le scritture che appaiono (come in questo caso) meramente convenzionali? Insomma, cos'hai capito ora, più di ciò che il buon senso ti suggeriva intorno a quella notazione?
"Seneca":
Come mai questa esigenza così spinta di giustificare finanche le scritture che appaiono (come in questo caso) meramente convenzionali? Insomma, cos'hai capito ora, più di ciò che il buon senso ti suggeriva intorno a quella notazione?
Più che di un'esigenza si tratta di una curiosità, che è rivolta all'aspetto puramente formale del linguaggio matematico.
La tua risposta (che comunque apprezzo perché la sua presenza mostra che hai dedicato del tempo per riflettere sulla mia domanda) riguarda un altro aspetto della questione: quello intuitivo, che però non è l'oggetto di questo thread (in quanto già noto).
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