Dubbio sul Rudin
ciao a tutti, sto tentando di leggere il Rudin "Real and complex analysis" però mi sono imbattuto (a pagina 8 
) in una proposizione che non capisco.
parlando di spazi topologici dice:
siano $X$ e $Y$ due spazi topologici
$f$ funzione $X->Y$
$f$ si dice continua se $AA V$ aperto di $Y$ $f^-1 (V) $è un aperto di $X$
avendo prima specificato che $f^-1 (V) $ = ${x in X: f(x) in Y}$
non mi spiego come questo possa dare una definizione di continuità...anche se tento di immaginare una funzione non continua non vedo perchè essa non debba rispettare quella condizione..
grazie come sempre a tutti
) in una proposizione che non capisco. parlando di spazi topologici dice:
siano $X$ e $Y$ due spazi topologici
$f$ funzione $X->Y$
$f$ si dice continua se $AA V$ aperto di $Y$ $f^-1 (V) $è un aperto di $X$
avendo prima specificato che $f^-1 (V) $ = ${x in X: f(x) in Y}$
non mi spiego come questo possa dare una definizione di continuità...anche se tento di immaginare una funzione non continua non vedo perchè essa non debba rispettare quella condizione..
grazie come sempre a tutti
Risposte
beh allora ti faccio un esempio banale: prendiamo ]0,1[ con la topologia indotta da quella euclidea su $RR$ e definiamo
$f(x) = 0$ per $0 < x \le 1/2$
$f(x) = 1$ per $1/2 < x < 1$
questa funzione non è continua e infatti $f^{-1}(]-1/3,1/3[) = ]0,1/2]$ che non è aperto (ovviamente va bene qualunque aperto che contiene $0$ e non $1$)
nel caso di spazi metrici comunque si può dimostrare l'equivalenza di questa definizione con quella usuale con $\epsilon$ e $\delta$
(è facile, provaci)
$f(x) = 0$ per $0 < x \le 1/2$
$f(x) = 1$ per $1/2 < x < 1$
questa funzione non è continua e infatti $f^{-1}(]-1/3,1/3[) = ]0,1/2]$ che non è aperto (ovviamente va bene qualunque aperto che contiene $0$ e non $1$)
nel caso di spazi metrici comunque si può dimostrare l'equivalenza di questa definizione con quella usuale con $\epsilon$ e $\delta$
(è facile, provaci)
ok credo di aver capito qualcosa...proverò a fare la dimostrazione!
grazie..
grazie..
fammi sapere sequesta dimostrazione va bene:
$X$,$Y$ spazi topologici, $f$ funzione $X->Y$, $f^-1$$(V)$ come indicato sopra.
scelgo un elemento dell'immagine $f(x_0)$, e un suo intorno aperto $V$ di ampiezza minore di $epsilon$
allora per l'ipotesi fatta l'insieme $f^-1$$(V)$ è un aperto ed è anche un intorno di $x_0$. poichè è un aperto al suo interno posso scegliere sempre un intorno di $x_0$ di ampiezza minore di $delta$, per cui si ha la continuità...
non mi sembra molto formale come dimostrazione però il concetto spero di averlo azzeccato.
$X$,$Y$ spazi topologici, $f$ funzione $X->Y$, $f^-1$$(V)$ come indicato sopra.
scelgo un elemento dell'immagine $f(x_0)$, e un suo intorno aperto $V$ di ampiezza minore di $epsilon$
allora per l'ipotesi fatta l'insieme $f^-1$$(V)$ è un aperto ed è anche un intorno di $x_0$. poichè è un aperto al suo interno posso scegliere sempre un intorno di $x_0$ di ampiezza minore di $delta$, per cui si ha la continuità...
non mi sembra molto formale come dimostrazione però il concetto spero di averlo azzeccato.
grazie mille del link, molto interessante!!!
ne deduco che la dimostrazione, a livello intuitivo, è corretta...
ne deduco che la dimostrazione, a livello intuitivo, è corretta...
"ne deduco che la dimostrazione, a livello intuitivo, è corretta..."
l'unica cosa che aggiungerei è che $f(f^{-1}(Z)) \sube Z$, col che garantisci che l'immagine dell'intorno di raggio delta sta dentro l'intorno di raggio epsilon che avevi preso
(come $Z$ puoi prendere l'intorno di $f(x_0)$ di raggio uguale ad epsilon; ovviamente per quello che dici l'intorno di $x_0$ di raggio delta è contenuto in $f^{-1}(Z)$; usi anche che $A \sube B$ implica $f(A) \sube f(B)$, ma non vale neanche la pena di ricordarlo, direi!)
comunque queste cose le trovi fatte in "ogni" libro di topologia
l'unica cosa che aggiungerei è che $f(f^{-1}(Z)) \sube Z$, col che garantisci che l'immagine dell'intorno di raggio delta sta dentro l'intorno di raggio epsilon che avevi preso
(come $Z$ puoi prendere l'intorno di $f(x_0)$ di raggio uguale ad epsilon; ovviamente per quello che dici l'intorno di $x_0$ di raggio delta è contenuto in $f^{-1}(Z)$; usi anche che $A \sube B$ implica $f(A) \sube f(B)$, ma non vale neanche la pena di ricordarlo, direi!)
comunque queste cose le trovi fatte in "ogni" libro di topologia
perfetto, grazie mille...sempre disponibilissimo ed esauriente!!!
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