Dubbio sul problema di cauchy
Salve a tutti, sono uno studente di Ingegneria.
Mi sto preparando per il primo parziale di Analisi 2. Tra le varie tipologie vi sono anche i problemi di cauchy.
Risolvendo il seguente:
$ { y'=(2xy)/(x^2-1) , y(0)=-2 $
sono giunto alla forma :
$ ln(|y(x)|/2)=ln|(x^2-1)| $
Togliendo i valori assoluti il risultato viene e la fi(X) è verificata. Ora la mia domanda è: cosa mi garantisce di poter togliere i moduli ad ambo i membri.
Inoltre il dominio massimale I= ]-1;1[
Grazie
Mi sto preparando per il primo parziale di Analisi 2. Tra le varie tipologie vi sono anche i problemi di cauchy.
Risolvendo il seguente:
$ { y'=(2xy)/(x^2-1) , y(0)=-2 $
sono giunto alla forma :
$ ln(|y(x)|/2)=ln|(x^2-1)| $
Togliendo i valori assoluti il risultato viene e la fi(X) è verificata. Ora la mia domanda è: cosa mi garantisce di poter togliere i moduli ad ambo i membri.
Inoltre il dominio massimale I= ]-1;1[
Grazie
Risposte
posto $y'=f(x,y)$,si ha
$ln|y|=ln|x^2-1|+lnc,c>0$,cioè $|y|=c|x^2-1|$,cioè $y=k(x^2-1),k in mathbbR$
la funzione soluzione del problema di Cauchy è $y=2(x^2-1)$ che di per sè sarebbe definita in tutto $mathbbR$
l'intervallo massimale di esistenza è dovuto all'espressione di $f(x,y)$
se l'equazione fosse stata posta nella forma $(x^2-1)y'=2xy$,l'intervallo massimale sarebbe stato tutto $mathbbR$
$ln|y|=ln|x^2-1|+lnc,c>0$,cioè $|y|=c|x^2-1|$,cioè $y=k(x^2-1),k in mathbbR$
la funzione soluzione del problema di Cauchy è $y=2(x^2-1)$ che di per sè sarebbe definita in tutto $mathbbR$
l'intervallo massimale di esistenza è dovuto all'espressione di $f(x,y)$
se l'equazione fosse stata posta nella forma $(x^2-1)y'=2xy$,l'intervallo massimale sarebbe stato tutto $mathbbR$
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