Dubbio sul criterio del confronto - serie
Ciao,
Dal libro: "ogni serie che maggiora una serie a termini positivi divergente è a sua volta divergente"
Il mio dubbio è: perché si precisa che siano (anche una sola) a termini positivi?
Posso prendere due serie non a termini positivi $sum_{n=0}^(+infty)x_n$ , $sum_{n=0}^(+infty)y_n$ tali che $x_n<=y_n$ per ogni $n in NN$.
Quindi $X_m=x_0+x_1+...+x_m<=y_0+y_1+...+y_m=Y_m$ per ogni $m in NN$
Con $lim_(m to +infty)X_m=+infty$ si dovrebbe concludere che $lim_(m to +infty)Y_m=+infty$
Giusto?
Dal libro: "ogni serie che maggiora una serie a termini positivi divergente è a sua volta divergente"
Il mio dubbio è: perché si precisa che siano (anche una sola) a termini positivi?
Posso prendere due serie non a termini positivi $sum_{n=0}^(+infty)x_n$ , $sum_{n=0}^(+infty)y_n$ tali che $x_n<=y_n$ per ogni $n in NN$.
Quindi $X_m=x_0+x_1+...+x_m<=y_0+y_1+...+y_m=Y_m$ per ogni $m in NN$
Con $lim_(m to +infty)X_m=+infty$ si dovrebbe concludere che $lim_(m to +infty)Y_m=+infty$
Giusto?
Risposte
quello che conta è che siano due serie a termini costanti sostanzialmente. in genere si enuncia il teorema con una sola delle due versioni e l'altra la si ottiene notando che si passa a quella di termine definitivamente negativo per esempio raccogliendo un meno.
se quindi prendi due serie definitivamente a segno negativo ($a_n <= b_n$) con $sum_n a_n $ divergente (negativamente), allora puoi concludere che anche l'altra lo fa
se quindi prendi due serie definitivamente a segno negativo ($a_n <= b_n$) con $sum_n a_n $ divergente (negativamente), allora puoi concludere che anche l'altra lo fa
Ma cosa vieta a una successione non monotona di divergere?
"AnalisiZero":
Dal libro: "ogni serie che maggiora una serie a termini positivi divergente è a sua volta divergente"
Il mio dubbio è: perché si precisa che siano (anche una sola) a termini positivi?
Infatti, non serve a nulla.
Ogni serie che maggiora una serie positivamente divergente è a sua volta positivamente divergente.
"AnalisiZero":
Ma cosa vieta a una successione non monotona di divergere?
e chi ha preso le successioni monotone? vogliamo solo dire quale serie viene prima e quale dopo, che siano monotone non è richiesto
Beh vabbé c'è un esempio facile. La serie
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1) \]
è divergente a \(-\infty\). La serie
\[
\sum_{n=1}^\infty 0\]
è convergente. Il termine generale della seconda serie maggiora il termine generale della prima; \(-1<0\).
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1) \]
è divergente a \(-\infty\). La serie
\[
\sum_{n=1}^\infty 0\]
è convergente. Il termine generale della seconda serie maggiora il termine generale della prima; \(-1<0\).
"dissonance":
Beh vabbé c'è un esempio facile. La serie
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1) \]
è divergente a \(-\infty\). La serie
\[
\sum_{n=1}^\infty 0\]
è convergente. Il termine generale della seconda serie maggiora il termine generale della prima; \(-1<0\).
Sono stato troppo generico. Come fa @gugo conviene specificare il segno di infinito. Nel primo post per divergente intendo positivamente. Per le serie divergenti negativamente invece si dovrebbe dire che: ogni serie maggiorata da una serie divergente negativamente è a sua volta divergente negativamente.
ma se la serie è a termini negativi, se diverge non può che divergere a $-oo$, non c'è bisogno di specificarlo (analogo per il positivamente)
"cooper":
ma se la serie è a termini negativi, se diverge non può che divergere a $-oo$, non c'è bisogno di specificarlo (analogo per il positivamente)
Grazie.
Quello che si intendeva è che se $sum b_n$ maggiora, ad esempio, la serie con addendi:
\[
a_n:=\begin{cases} \frac{1}{n} &\text{, se } n \text{ è pari}\\ -\frac{1}{n^2} &\text{, se } n \text{ è dispari}\end{cases}
\]
essa diverge positivamente nonostante né $a_n$ abbia né $b_n$ debba necessariamente avere termini positivi.
ops, scusate allora, non avevo minimamente capito il dubbio 
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