Dubbio sul cono

[CallistoBello]

Salve , c'è un esercizio in cui mi si chiede di considerare la Superficie Cartesiana :
$z= sqrt(x^2+y^2)$ per $1
Ora , questa equazione $z= sqrt(x^2+y^2)$ mi rappresenta:
"Un cono rotondo di vertice (0,0,0) , raggio: a=b=1 , altezza c=1 "

E questa condizione $1 "la porzione di cono compresa tra i due piani $z=1$ e $z=2$"

Problema: non penso abbia senso questa condizione, visto che il Cono si ""esaurisce"" ad altezza z=1.

Suggerimenti?

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

"CallistoBello":visto che il Cono si ""esaurisce"" ad altezza z=1.

Che significa? Ti sta dicendo di considerare il tronco di cono di altezza $1$ compreso fra $z = 1 $ e $z = 2$...

[CallistoBello]

si, ma dalla generica equazione di un cono rotondo: $z^2=m^2 (x^2+y^2)$ , con $m^2=c^2/a^2$

Nel caso dell'equazione : $z=sqrt(x^2+y^2)$ io ho che: è sottinteso $a=b=c=1$
e se $c=1$ significa che: "quell'equazione mi sta a rappresentare un cono che non supera la quota $z=1$"

[pilloeffe]

Beh, no. L'equazione $z = \sqrt{x^2 + y^2} $ rappresenta un cono di vertice $V -= O(0,0,0) $
Per $z = 1 $ si ottiene $x^2 + y^2 = 1 $ che è il bordo della base minore del tronco di cono, per $z = 2 $ si ottiene $x^2 + y^2 = 4 $ che è il bordo della base maggiore del tronco di cono. Quest'ultimo è capovolto (in alto la base maggiore ed in basso quella minore) e ha altezza $h = \Delta z = 2 - 1 = 1 $

[CallistoBello]

*Forse ho capito :
Considerato $m$ := "il coefficiente angolare di quella che nel piano xOz è la retta $x=mz$ che se messa in rotazione attorno all'asse z mi genera quella Superficie: Cono retto"
a)
Nel caso in cui : $m=1$ è vero che: i due semiassi della base del cono COINCIDONO con l'altezza del cono
e cioè che: $a=b=c$
però non sappiamo quale sia il valore comune di questi tre .

Risultato: l' equazione implicita di un cono retto, nel caso in cui $m=1$
--> descrive sempre un Cono con raggio qualsiasi ed altezza qualsiasi
b)
Se invece avessi avuto : un $z=sqrt(9/16 (x^2+y^2))$
avrei potuto affermare con certezza che quello era un cono retto
- di altezza $c=sqrt(9)=3$
- di raggio $a=sqrt(16)=4$

Intuizione corretta?

[pilloeffe]

Dai un'occhiata all'Esempio 1.20 a pagina 31 qui.

[CallistoBello]

"pilloeffe":Dai un'occhiata all'Esempio 1.20 a pagina 31 qui.

Ok.

Da quel che vedo , tratta il caso b) di un Cono "Finito"
in cui sia $h$ che $R$ sono fissate e si possono evincere dall'equazione.
Dunque la quota $z$ potrà variare da $z=0$ fino ad arrivare al più a $z=h$

Ma se ci mettiamo nel caso a) ,
quell'equazione $z=sqrt(x^2+y^2)$ non mi dà informazioni su $h$ ed $R$
Mi dice solo che: $m=h/R=1$ e questo è vero se e solo se $h=R$.
Allora mi chiedo:
Siccome non conosciamo ne' h ne' R , in questo secondo caso, posso assumere che il Cono sia infinito?

[pilloeffe]

Sì. Di quel cono infinito però ti interessa solo la parte fra $z = 1 $ e $z = 2 $, che è un tronco di cono di altezza $1$.

[CallistoBello]

"pilloeffe":Sì. Di quel cono infinito però ti interessa solo la parte fra $z = 1 $ e $z = 2 $, che è un tronco di cono di altezza $1$.

Chiaro, grazie mille

[CallistoBello]

Lo stesso discorso vale anche per $z=x^2-y^2$ per $x^2+y^2
Nel senso che: $z=x^2-y^2$ mi descrive una sella (paraboloide iperbolico) di vertice l'origine.

La condizione $x^2+y^2

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[pilloeffe]

Yes!

[gugo82]

Certo. Una Pringles, praticamente.

[pilloeffe]

"gugo82":Una Pringles, praticamente.

Se ha voglia di cimentarsi propongo all'OP un esercizio abbastanza classico che può essere di un qualche interesse: trovare la superficie $S_P$ della Pringles.

$S_P = \int\int_D sqrt{1 + ((del f)/(\del x))^2 + ((del f)/(\del y))^2} \text{d}x \text{d}y$

ove

$ z = f(x, y) = x^2 - y^2 $ e $D = {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 < R^2} $