Dubbio sul coniugato di un hilbert

[mr Blonde11]

Dato uno spazio di Hilbert $H$ ho definito il suo coniugato $bar{H}$ con l'operazione $\alpha*x=bar{\alpha}x$ con $\alpha in K$ il campo, $x in H$ e prodotto scalare $_bar{H}=bar{_H}$.
Di solito si dice che il duale di uno spazio di Hilbert è isometrico al suo coniugato (utilizzando la rappresentazione di Riesz). E che con la mappa identica uno spazio di Hilbert sia anti-isometrico al suo coniugato.
Qui nasce il mio dubbio. La mappa coniugio diciamo, ovvero che manda ogni vettore nel suo coniugato è sempre un isometria tra $H$ e $bar{H}$?
Per verificarlo servirebbe che $bar{}=$ e scrivendo $x=a+ib$ e $y=c+id$ quanto voglio dimostrare seguirebbe da $bar{}=$. Questa condizione è sempre verificata per un prodotto scalare? Immagino di no ma non mi è venuto in mente un controesempio e su internet non ho trovato risposta.
Qualcuno sa come risolvere la questione?

[Luca.Lussardi]

dire che $\overline{\langle a,c\rangle}=\langle a,c\rangle$ implica che $\langle a,c\rangle$ e' reale per ogni $a,c$ mentre la definizione di prodotto scalare richiede che $\langle a,a\rangle$ sia sempre reale.

[mr Blonde11]

ok questo è vero, però il fatto che non sia tra le proprietà non vuol dire automaticamente che sia falso. Credo anche io che non sia vero, non vedo perchè il fatto che la forma quadratica sia reale dovrebbe implicare il fatto che il prodotto scalare delle parti reali debba essere reale, però di fatto non l'ho dimostrato.
Sarebbe ottimo avere un esempio di un prodotto scalare per cui $$ non sia reale, o ancora meglio (ma ne sono ancora meno sicuro) un esempio di spazio di Hilbert che non è mai isometrico al suo coniugato.