Dubbio sul concetto di limite
Supponiamo di avere la seguente funzione
\(\displaystyle \begin{cases}
x^{2} & x\ne0\\
123 & x=0
\end{cases} \)
Il grafico sarà la parabola bucata nell'origine con un puntino nel punto (0,123)
Ora ne vogliamo calcolare il limite per \(\displaystyle x \to 0 \). Dal punto di vista analitico ho che \(\displaystyle lim_{x \to 0^+} = lim_{x \to 0^-} = 0 \). Poichè si dice che il limite esiste se esiste il limite destro e sinistro e questi sono uguali, di questa funzione dico che il limite per x che tende a 0 esiste ed è uguale a 0. Giusto? Fin qui tutto bene?
Ora uso la definizione topologica. Con I indico gli intorni in \(\displaystyle \mathbb{R} \). La funzione è limitata per x tendende a 0 con limite 0 se \(\displaystyle \forall I_{\delta}(0) \quad \exists I_{\epsilon}(0) \) tale che se \(\displaystyle x \in I_{\epsilon}(0) \) allora \(\displaystyle f(x) \in I_{\delta}(0) \).
In altre parole scelto un intervallo centrato nell'origine tutte le valutazioni della funzione stanno in una striscia che contiene l'origine. Ma questo chiaramente non è vero.
Quindi per definizione dovrei dire che la funzione non ammette limite. Dove sbaglio?
*************************************************
Altra domanda: ma tutti gli insieme \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) con \(\displaystyle n>1 \) sono non ordinati giusto? E' concettualmente corretto stabilirne un ordinamento usando n relazioni d'ordine?
\(\displaystyle \begin{cases}
x^{2} & x\ne0\\
123 & x=0
\end{cases} \)
Il grafico sarà la parabola bucata nell'origine con un puntino nel punto (0,123)
Ora ne vogliamo calcolare il limite per \(\displaystyle x \to 0 \). Dal punto di vista analitico ho che \(\displaystyle lim_{x \to 0^+} = lim_{x \to 0^-} = 0 \). Poichè si dice che il limite esiste se esiste il limite destro e sinistro e questi sono uguali, di questa funzione dico che il limite per x che tende a 0 esiste ed è uguale a 0. Giusto? Fin qui tutto bene?
Ora uso la definizione topologica. Con I indico gli intorni in \(\displaystyle \mathbb{R} \). La funzione è limitata per x tendende a 0 con limite 0 se \(\displaystyle \forall I_{\delta}(0) \quad \exists I_{\epsilon}(0) \) tale che se \(\displaystyle x \in I_{\epsilon}(0) \) allora \(\displaystyle f(x) \in I_{\delta}(0) \).
In altre parole scelto un intervallo centrato nell'origine tutte le valutazioni della funzione stanno in una striscia che contiene l'origine. Ma questo chiaramente non è vero.
Quindi per definizione dovrei dire che la funzione non ammette limite. Dove sbaglio?
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Altra domanda: ma tutti gli insieme \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) con \(\displaystyle n>1 \) sono non ordinati giusto? E' concettualmente corretto stabilirne un ordinamento usando n relazioni d'ordine?
Risposte
"raffamaiden":
In altre parole scelto un intervallo centrato nell'origine tutte le valutazioni della funzione stanno in una striscia che contiene l'origine. Ma questo chiaramente non è vero.
Quindi per definizione dovrei dire che la funzione non ammette limite. Dove sbaglio?
Non è molto chiaro. Hai considerato che l'intorno in cui vai a valutare la funzione è bucato?
"Seneca":
[quote="raffamaiden"]
In altre parole scelto un intervallo centrato nell'origine tutte le valutazioni della funzione stanno in una striscia che contiene l'origine. Ma questo chiaramente non è vero.
Quindi per definizione dovrei dire che la funzione non ammette limite. Dove sbaglio?
Non è molto chiaro. Hai considerato che l'intorno in cui vai a valutare la funzione è bucato?[/quote]
Scusa ma non ho proprio capito benissimo .... tu scegli un \(\displaystyle \delta \) positivo a tuo piacere, piccolo quanto vuoi. Allora se il limite esiste io ti devo trovare un \(\displaystyle \epsilon \) tale che tutte le valutazioni della funzione tra \(\displaystyle 0-\epsilon \) e \(\displaystyle 0+\epsilon \) siano nella striscia \(\displaystyle 0+\delta \) e \(\displaystyle 0-\delta \). Se tu mi dai un \(\displaystyle \delta<123 \) tale epsilon non lo troverò mai. Sbaglio?
Non capisco in che modo devo considerare che l'intervallo è bucato ....
"raffamaiden":
Supponiamo di avere la seguente funzione
\(\displaystyle \begin{cases}
x^{2} & x\ne0\\
123 & x=0
\end{cases} \)
Il grafico sarà la parabola bucata nell'origine con un puntino nel punto (0,123)
Ora ne vogliamo calcolare il limite per \(\displaystyle x \to 0 \). Dal punto di vista analitico ho che \(\displaystyle lim_{x \to 0^+} = lim_{x \to 0^-} = 0 \). Poichè si dice che il limite esiste se esiste il limite destro e sinistro e questi sono uguali, di questa funzione dico che il limite per x che tende a 0 esiste ed è uguale a 0. Giusto? Fin qui tutto bene?
Certamente.
"raffamaiden":
Ora uso la definizione topologica. La funzione è limitata per x tendende a 0 con limite 0 se \(\displaystyle \forall I_{\delta}(0) \quad \exists I_{\epsilon}(0) \) tale che se \(\displaystyle x \in I_{\epsilon}(0) \) allora \(\displaystyle f(x) \in I_{\delta}(0) \).
In altre parole scelto un intervallo centrato nell'origine tutte le valutazioni della funzione stanno in una striscia che contiene l'origine. Ma questo chiaramente non è vero.
Quindi per definizione dovrei dire che la funzione non ammette limite. Dove sbaglio?
Anzitutto, permettimi di dire che l'espressione "la funzione è limitata per x tendende a 0 con limite 0" è turpe e, francamente, scorretta. Si dice che la funzione ammette limite 0 per x tendente a 0, la limitatezza è tutta un'altra cosa.
Per quanto riguarda il tuo dubbio, si fa presto a scioglierlo. C'è un errore di base: quella che hai scritto NON è la definizione di limite, è la definizione di continuità.
Prova a rileggere bene il tuo libro di teoria. In particolare, la definizione di limite. E ti accorgerai che ti sei solo perso un... buco.
Nella definizione di limite, l'intorno va preso "bucato": si dice che $lim_{x to x_0} f(x)=l$ se per ogni intorno $I(l, epsilon)$ esiste un intorno $B(x_0, delta)$ tale che $f(B setminus {x_0}) \subseteq I(l, epsilon)$ cioè $f(x) \in I(l, epsilon)$ per ogni $ x \in B setminus {x_0}$.
Più chiaro?
P.S. Scusa Seneca, mi ero perso il tuo intervento.
AAAAAAAaaaaaahhhhh è vero è vero .... non deve avere importanza come si comporta la funzione in quel punto, e quindi anche l'intorno devo prenderlo bucato! Altrimenti non ci sarebbe neanche congruenza tra il calcolo analitico che ho fatto prima dove non ho considerato la valutazione della funzione e la definizione! Grazie mille ad entrambi!
@Paolo: non ho dimenticato il post sulle equazioni omogenee eh .... li sto solo facendo pian piano compatibilmente con le altre materie.
Per quanto riguarda l'altra domanda che ho aggiunto dopo con un edit? Una rispostina anche a quella?
@Paolo: non ho dimenticato il post sulle equazioni omogenee eh .... li sto solo facendo pian piano compatibilmente con le altre materie.
Per quanto riguarda l'altra domanda che ho aggiunto dopo con un edit? Una rispostina anche a quella?
"raffamaiden":
AAAAAAAaaaaaahhhhh è vero è vero .... non deve avere importanza come si comporta la funzione in quel punto, e quindi anche l'intorno devo prenderlo bucato! Altrimenti non ci sarebbe neanche congruenza tra il calcolo analitico che ho fatto prima dove non ho considerato la valutazione della funzione e la definizione! Grazie mille ad entrambi!
Figurati.
"raffamaide":
@Paolo: non ho dimenticato il post sulle equazioni omogenee eh .... li sto solo facendo pian piano compatibilmente con le altre materie.
Dici quello sulle equazioni autonome? Non c'è problema, figurati. Prenditi tutto il tempo necessario e fai con calma
"raffamaiden":
Per quanto riguarda l'altra domanda che ho aggiunto dopo con un edit? Una rispostina anche a quella?
Non ho capito bene che cosa intendi. Suggerisco comunque uno sguardo qui. Tieni conto, anyway, che in più dimensioni il concetto di ordine - almeno in analisi - lo usi poco. Quando ne hai bisogno, giochi con le norme (o il modulo, in campo complesso).
Scusate, non ho letto tutto, però secondo me raffamaiden si sta perdendo in un bicchiere d'acqua. Per quella funzione puoi dire due cose: 1) esiste il limite che vale zero in zero; 2) la funzione non è continua in zero.
Ciampax, il problema era che usando un altro procedimento mi veniva che il limite non esiste, e infatti mi ero dimenticato la corretta definizione di limite
Paolo, si mi riferisco proprio a quello. In \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) pensavo di confrontare i moduli, ma a parità di moduli devo confrontare gli angoli. Pertanto in n dimensioni mi servono n relazioni anche perchè, ragionando sulla rappresentazione di un vettore in una base, devo confrontare n numeri e stabilire quale relazione ha la precedenza su quale altra. Il mio era più un dubbio qualitativo, scaturito dalle differenti definizioni che il mio testo da di "limitato" in \(\displaystyle \mathbb{R} \) (un insieme è limitato se lo è inferiormente e superiormente, cioè se esiste estremo superiore e estremo inferiore) e in spazi di dimensione superiore (un insieme è limitato se esiste un intorno dell'origine che lo contiene tutto)
Paolo, si mi riferisco proprio a quello. In \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) pensavo di confrontare i moduli, ma a parità di moduli devo confrontare gli angoli. Pertanto in n dimensioni mi servono n relazioni anche perchè, ragionando sulla rappresentazione di un vettore in una base, devo confrontare n numeri e stabilire quale relazione ha la precedenza su quale altra. Il mio era più un dubbio qualitativo, scaturito dalle differenti definizioni che il mio testo da di "limitato" in \(\displaystyle \mathbb{R} \) (un insieme è limitato se lo è inferiormente e superiormente, cioè se esiste estremo superiore e estremo inferiore) e in spazi di dimensione superiore (un insieme è limitato se esiste un intorno dell'origine che lo contiene tutto)
"raffamaiden":
Altra domanda: ma tutti gli insieme \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) con \(\displaystyle n>1 \) sono non ordinati giusto? E' concettualmente corretto stabilirne un ordinamento usando n relazioni d'ordine?
1) la domanda è mal formulata. Con un minimo di elasticità la interpreto così: "non è possibile definire su R^n (n>1) una relazione d'ordine" Cioè, invece di chiedere se "non sono ordinati", il che presupporrebbe di avere una relazione tra le mani, sarebbe meglio chiedere: "sono ordinabili?"
Detto questo, la risposta è: sì, sono ordinabili. Un ordine lessicografico è un ordine totale (addirittura!) su R^n.
2) ovviamente non è concettualmente sbagliato: anzi, lo si fa normalmente. Ad esempio, l'idea di efficienza (detta "paretiana") degli economisti è basata su questo.
Il punto importante è che non è possibile stabilire un ordine totale su R^n che sia compatibile con la struttura algebrica di R^n. Esattamente come succede in C (intendo i numeri complessi).
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