Dubbio sul carattere di una serie
Ciao a tutti, devo determinare il carattere di questa serie (la soluzione dovrebbe essere convergente), ma non so in che modo utilizzare i criteri: essendo il termine generale una somma è lecito usare il criterio del confronto asintotico?
$\sum_{k=1}^\infty\ cos(1/sqrt(n))-1+(1/(2*n))$
Grazie in anticipo
ps: è il mio primo post, se ho sbagliato qualcosa siate clementi
$\sum_{k=1}^\infty\ cos(1/sqrt(n))-1+(1/(2*n))$
Grazie in anticipo
ps: è il mio primo post, se ho sbagliato qualcosa siate clementi
Risposte
"Mirko90":
Ciao a tutti, devo determinare il carattere di questa serie (la soluzione dovrebbe essere convergente), ma non so in che modo utilizzare i criteri: essendo il termine generale una somma è lecito usare il criterio del confronto asintotico?
$\sum_{k=1}^\infty\ cos(1/sqrt(n))-1+(1/(2*n))$
Grazie in anticipo
ps: è il mio primo post, se ho sbagliato qualcosa siate clementi
Ciao Mirko. Non vorrei sbagliare nel dirti che puoi applicare il criterio del confronto asintotico a serie dal termine generale di segno costante. Nel tuo caso, quindi, cercherei di stabilire se la serie converge assolutamente.
Il termine $|cos(1/sqrt(n))-1+(1/(2*n))|$ a chi è asintotico ?
Non so se posso permettermi di rispondere.
Se sbaglio o sono off topic, mi scuso a priori.
Io vedrei $1-cos(1/sqrt(n))=1/(2n)+o(1/n)$
quindi potrebbe essere cosi:
$1-1/(2n)-o(1/n)=cos(1/sqrt(n))$
sostituendo:
$1-1/(2n)-o(1/n)+1/(2n)$=$1-o(1/n)$
Il limite è $0$ suppongo.
E' giusto o ho scritto una stupidità?
Se sbaglio o sono off topic, mi scuso a priori.
Io vedrei $1-cos(1/sqrt(n))=1/(2n)+o(1/n)$
quindi potrebbe essere cosi:
$1-1/(2n)-o(1/n)=cos(1/sqrt(n))$
sostituendo:
$1-1/(2n)-o(1/n)+1/(2n)$=$1-o(1/n)$
Il limite è $0$ suppongo.
E' giusto o ho scritto una stupidità?
"clever":
Non so se posso permettermi di rispondere.
Se sbaglio o sono off topic, mi scuso a priori.
Io vedrei $1-cos(1/sqrt(n))=1/(2n)+o(1/n)$
quindi potrebbe essere cosi:
$1-1/(2n)-o(1/n)=cos(1/sqrt(n))$
sostituendo:
$1-1/(2n)-o(1/n)+1/(2n)$=$1-o(1/n)$
Il limite è $0$ suppongo.
E' giusto o ho scritto una stupidità?
Ciao Clever, io per studiare la convergenza della serie ho provato che tale serie converge assolutamente. Per fare ciò ho sviluppato il termine $cos(1/sqrtn)$ in serie di Taylor, cosa possibile dal momento che $1/sqrtn$ tende a zero definitivamente.
Ho dunque: $cos(1/sqrt(n))=1-1/(2n)+1/(4!*n^2)+o(1/n^2)$. Concludo quindi che il modulo del termine generale della serie data è asintotico a $1/(4!n^2)$. Quindi la serie di partenza converge.
Ecco non avevo pensato a Taylor, ma mi sa che è la soluzione migliore... Grazie mille!
"Mirko90":
Ecco non avevo pensato a Taylor, ma mi sa che è la soluzione migliore... Grazie mille!
Figurati, ci mancherebbe ! A risentirci.
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