Dubbio sul carattere di una serie
Salve,
Io avrei una serie così fatta:
[tex]\sum (arcsin \frac{1}{n})\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex]
Applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi ho sostituito [tex](arcsin \frac{1}{n})[/tex] con [tex]\frac{1}{n}[/tex], ottenendo quindi come termine generale della serie:
[tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})=\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n}}[/tex]
poi ho scritto:
[tex][(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}[/tex]
in cui la quantità entro parentesi quadra ha come limite [tex]e[/tex] e pertanto:
[tex]lim [(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}=e^0=1[/tex]
Segue che, essendo il limite del logaritmo pari al logaritmo del suo limite, ed essendo tale limite pari a 1, il termine generale della serie converge a zero, verificando la C.N. Ora, come faccio a poter dire con certezza che la serie converge?
Io avrei una serie così fatta:
[tex]\sum (arcsin \frac{1}{n})\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex]
Applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi ho sostituito [tex](arcsin \frac{1}{n})[/tex] con [tex]\frac{1}{n}[/tex], ottenendo quindi come termine generale della serie:
[tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})=\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n}}[/tex]
poi ho scritto:
[tex][(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}[/tex]
in cui la quantità entro parentesi quadra ha come limite [tex]e[/tex] e pertanto:
[tex]lim [(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}=e^0=1[/tex]
Segue che, essendo il limite del logaritmo pari al logaritmo del suo limite, ed essendo tale limite pari a 1, il termine generale della serie converge a zero, verificando la C.N. Ora, come faccio a poter dire con certezza che la serie converge?
Risposte
Praticamente hai verificato solo la condizione necessaria alla convergenza. Adesso devi applicare qualche criterio di convergenza. Quello del confronto asintotico va bene, ma ricordati di controllare che la serie è a termini positivi.
qualche suggerimento sulla successione da confrontare asintoticamente col termine generale? No, perchè gli esempi che ho sull'applicazione del criterio del confronto asintotico, sono tutti su serie armoniche 
Ho provato a fare il confronto asintotico con la serie [tex]\sum \frac{1}{n\ln n}[/tex] ma mi viene una f. i. 
Ricordati il limite notevole $lim_{x \to 0}\frac{log(1+x)}{x}=1$.
Non so se mi son fatto male i conti....ma ho fatto così:
Ho preso il termine generale dopo la sostituzione, quindi ho preso:
[tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex] e col suggerimento di dissonance, ho moltiplicato e diviso tutto per l'infinitesimo dentro parentesi, ovvero:
[tex]\frac{1}{n}\frac{\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})}{\frac{1}{\sqrt n}}\frac {1}{\sqrt n}[/tex]
ora il problema è che, vero è che la frazione al centro è un limite notevole pari a 1, ma è vero anche che viene moltiplicato per un infinitesimo di ordine 3/2, quindi il risultato del confronto mi risulta essere pari a zero e non ad un numero finito positivo come mi aspettavo. Almeno, questo è quello che mi è venuto
Ho preso il termine generale dopo la sostituzione, quindi ho preso:
[tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex] e col suggerimento di dissonance, ho moltiplicato e diviso tutto per l'infinitesimo dentro parentesi, ovvero:
[tex]\frac{1}{n}\frac{\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})}{\frac{1}{\sqrt n}}\frac {1}{\sqrt n}[/tex]
ora il problema è che, vero è che la frazione al centro è un limite notevole pari a 1, ma è vero anche che viene moltiplicato per un infinitesimo di ordine 3/2, quindi il risultato del confronto mi risulta essere pari a zero e non ad un numero finito positivo come mi aspettavo. Almeno, questo è quello che mi è venuto
Ma no, che stai facendo? Devi trovare una successione $a_n$ che sia asintoticamente equivalente al termine generale della tua serie. Quale può essere questa $a_n$?
Dunque vediamo...
Siccome [tex]lim \frac{\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})}{\frac{1}{\sqrt n}}=1[/tex] allora al posto di [tex]\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex] sostituisco proprio [tex]\frac{1}{\sqrt n}[/tex]. Allora il termine generale diventa:
[tex]\frac{1}{n^{3/2}}[/tex] quindi un infinitesimo di ordine 3/2>1 e la serie che ha come termine generale [tex]\frac{1}{n^{3/2}}[/tex] converge, ok. Ma ciò a quale conclusione mi porta con riguardo al confronto?
(grazie per la pazienza T_T)
Siccome [tex]lim \frac{\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})}{\frac{1}{\sqrt n}}=1[/tex] allora al posto di [tex]\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex] sostituisco proprio [tex]\frac{1}{\sqrt n}[/tex]. Allora il termine generale diventa:
[tex]\frac{1}{n^{3/2}}[/tex] quindi un infinitesimo di ordine 3/2>1 e la serie che ha come termine generale [tex]\frac{1}{n^{3/2}}[/tex] converge, ok. Ma ciò a quale conclusione mi porta con riguardo al confronto?
(grazie per la pazienza T_T)
Ho capito tutto...scusa la stoltezza...a non molto la risposta. Il tempo di scriverla XD
Allora. Credo di esserci o,o
La serie che ha termine generale [tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex] la confronto asintoticamente con la serie armonica [tex]\sum \frac{1}{n^{3/2}}[/tex] che avendo come termine generale un infinitesimo di ordine 3/2>1, converge.
Dal confronto risulta che:
[tex]lim \frac {\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})}{\frac{1}{\sqrt n}\frac{1}{n}}=1[/tex]
e le due serie hanno lo stesso carattere, ovvero convergono entrambe.
Giusto?
La serie che ha termine generale [tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex] la confronto asintoticamente con la serie armonica [tex]\sum \frac{1}{n^{3/2}}[/tex] che avendo come termine generale un infinitesimo di ordine 3/2>1, converge.
Dal confronto risulta che:
[tex]lim \frac {\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})}{\frac{1}{\sqrt n}\frac{1}{n}}=1[/tex]
e le due serie hanno lo stesso carattere, ovvero convergono entrambe.
Giusto?
Bravo. Manca solo una piccola osservazione: puoi concludere che la serie converge per confronto, perché si tratta di una serie a termini positivi. Non ci scordiamo che i criteri di confronto funzionano solo con serie di segno (definitivamente) costante. Questo continuo a ripeterlo perché è facile scordarlo, ed è proprio quello che è capitato a me: sono stato convinto a lungo del contrario.
Grazie dell'aiuto^^. E' stato davvero prezioso.
Visto che non è tanto OT, potresti consigliarmi sul da fare di questa applicazione del criterio di condensazione di Cauchy che forse tra i tanti topic non è stato visto. Ho la seguente serie:
[tex]\sum \frac{1}{n\ln^{2}(\ln n)}[/tex]
applicando il criterio di condensazione di Cauchy, ho scritto:
[tex]\sum 2^n\frac{1}{2^{n}\ln^{2}(\ln 2^n)}[/tex]
Poi ho fatto: [tex]\frac{1}{\ln^{2}(\ln(2^n))}[/tex]
In cui so che [tex]n>\ln n[/tex] ma sinceramente non so se la quantità presente al denominatore del termine generale, ovvero [tex]\ln^{2}(n\ln2)[/tex] è anch'esso minore di [tex]n[/tex]; allora ho sviluppato il quadrato del logaritmo:
[tex](\ln n+\ln(\ln2))^2=\ln^{2}(n)+\ln^{2}(\ln n)+2\ln n\ln (\ln2)[/tex]; mi sono accorto che dividendo tutti i termini per [tex]n[/tex] e calcolandone i limiti, questi sono tutti pari a 0. Ne ho dedotto che [tex](\ln n+\ln(\ln2))^2[/tex]è un infinito di ordine inferiore ad n e pertanto la serie che ha termine generale il suo inverso è divergente essendo tale termine maggiore di [tex]\frac{1}{n}[/tex]. Ho sbagliato qualcosa secondo te?
Visto che non è tanto OT, potresti consigliarmi sul da fare di questa applicazione del criterio di condensazione di Cauchy che forse tra i tanti topic non è stato visto. Ho la seguente serie:
[tex]\sum \frac{1}{n\ln^{2}(\ln n)}[/tex]
applicando il criterio di condensazione di Cauchy, ho scritto:
[tex]\sum 2^n\frac{1}{2^{n}\ln^{2}(\ln 2^n)}[/tex]
Poi ho fatto: [tex]\frac{1}{\ln^{2}(\ln(2^n))}[/tex]
In cui so che [tex]n>\ln n[/tex] ma sinceramente non so se la quantità presente al denominatore del termine generale, ovvero [tex]\ln^{2}(n\ln2)[/tex] è anch'esso minore di [tex]n[/tex]; allora ho sviluppato il quadrato del logaritmo:
[tex](\ln n+\ln(\ln2))^2=\ln^{2}(n)+\ln^{2}(\ln n)+2\ln n\ln (\ln2)[/tex]; mi sono accorto che dividendo tutti i termini per [tex]n[/tex] e calcolandone i limiti, questi sono tutti pari a 0. Ne ho dedotto che [tex](\ln n+\ln(\ln2))^2[/tex]è un infinito di ordine inferiore ad n e pertanto la serie che ha termine generale il suo inverso è divergente essendo tale termine maggiore di [tex]\frac{1}{n}[/tex]. Ho sbagliato qualcosa secondo te?
Cioé tu dici: ho una serie a termini positivi $sum 1/(a_n)$ (nel tuo caso $a_n=log^2(nlog2)$), e so che $(a_n)/n \to 0$. Allora $sum 1/(a_n)=+\infty$? Risposta: Sì, mi pare giusto.
si, in particolare avevo dei dubbi sul fatto che se si dice che [tex](\ln n + \ln(\ln 2))^2[/tex] è un infinito di ordine inferiore a n, ciò implica che:
[tex](\ln n + \ln(\ln 2))^2[/tex] [tex]< n[/tex] ???
Perchè se è così e se sviluppando il quadrato vedo che dividendolo per n, il suo limite è 0 allora la serie che ha come termine generale l'inverso di [tex](\ln n + \ln(\ln 2))^2[/tex] (ovvero la nostra serie), diverge.
[tex](\ln n + \ln(\ln 2))^2[/tex] [tex]< n[/tex] ???
Perchè se è così e se sviluppando il quadrato vedo che dividendolo per n, il suo limite è 0 allora la serie che ha come termine generale l'inverso di [tex](\ln n + \ln(\ln 2))^2[/tex] (ovvero la nostra serie), diverge.
Non capisco. Perché quella disuguaglianza? Sicuramente è vera, per $n$ sufficientemente grande, ma stiamo facendo dei confronti asintotici, mi pare. Il senso del criterio di confronto asintotico è proprio quello di permetterci di fare confronti senza sporcarci troppo le mani con le disuguaglianze. Sei sicuro di avere le idee chiare sul criterio di confronto asintotico?
Supponi di avere due serie $sum a_n, sum b_n$ a termini positivi.
1) Se ${a_n}/{b_n}\to 0$ converge cosa puoi concludere?
2) Se ${a_n}/{b_n}\to \infty$ cosa puoi concludere?
3) Se ${a_n}/{b_n}\to 1$ cosa puoi concludere?
Supponi di avere due serie $sum a_n, sum b_n$ a termini positivi.
1) Se ${a_n}/{b_n}\to 0$ converge cosa puoi concludere?
2) Se ${a_n}/{b_n}\to \infty$ cosa puoi concludere?
3) Se ${a_n}/{b_n}\to 1$ cosa puoi concludere?
Il punto è proprio questo...cioè credo che:
1) che se [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] sono due infiniti allora [tex]b_n[/tex] è un infinito di ordine superiore. Ma nulla si può dire sul carattere delle due serie. Ma in tal caso si può dire che [tex]b_n>a_n[/tex] per ogni n???
2) che se [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] sono due infiniti allora [tex]a_n[/tex] è un infinito di ordine superiore. Ma nulla si può dire sul carattere delle serie. Ma in tal caso si può dire che [tex]b_n
3)Se [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] sono infiniti o infinitesimi sono equivalenti e le due serie hanno lo stesso carattere.
1) che se [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] sono due infiniti allora [tex]b_n[/tex] è un infinito di ordine superiore. Ma nulla si può dire sul carattere delle due serie. Ma in tal caso si può dire che [tex]b_n>a_n[/tex] per ogni n???
2) che se [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] sono due infiniti allora [tex]a_n[/tex] è un infinito di ordine superiore. Ma nulla si può dire sul carattere delle serie. Ma in tal caso si può dire che [tex]b_n
3)Se [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] sono infiniti o infinitesimi sono equivalenti e le due serie hanno lo stesso carattere.
Come immaginavo, hai le idee confuse. Vediamo se riesco a spiegarti io.
Supponiamo che $sum a_n$, $sum b_n$ siano due serie a termini positivi. Abbiamo allora un teorema, detto criterio del confronto, che dice:
se $a_n <= b_n$ per ogni $n\in NN$, allora:
i) se $sum b_n$ converge, allora anche $sum a_n$ converge;
ii) se $sum a_n$ diverge, allora anche $sum b_n$ diverge.
[size=75]Sai dimostrare questo teorema? E' molto importante che tu sappia farlo.[/size]
Nelle ipotesi ho scritto $a_n<=b_n$ per ogni $n \in NN$. Ma non è necessario che questa disuguaglianza sia verificata proprio per ogni $n$. Se $a_n<=b_n$ dovesse essere vero da un certo indice in poi andrebbe bene lo stesso ([size=75]Perché? E' molto importante anche che tu sappia rispondere a questa domanda.[/size]). Proprio su questo dobbiamo fare leva per procurarci il criterio di confronto asintotico.
Infatti il criterio di confronto non è sempre di facile applicabilità. Può essere complicato mostrare esplicitamente una disuguaglianza del tipo $a_n<=b_n$, specialmente se questa dovesse essere verificata solo da un certo indice in poi. In molti casi è più semplice verificare qualche condizione al limite, piuttosto che sui singoli termini delle successioni.
Supponiamo infatti che $(a_n)/(b_n) \to 0$, ed esplicitiamo la definizione di limite. Risulta che
$\forall epsilon >0 \exists \nu \in NN\ :\ (n > nu) => (a_n)/(b_n)<=epsilon$;
Per $epsilon=1$, ricordando che le successioni in esame sono positive, otteniamo che
$\exists \nu \in NN\ :\ (n > nu) => a_n<=b_n$;
ovvero una disuguaglianza come nel criterio di confronto, valida da un certo indice $nu$ in poi! Sussiste quindi la conclusione i) del criterio di confronto. Ricapitolando:
1) Se $(a_n)/(b_n)\to0$ allora se $sum b_n$ converge, anche $sum a_n$ converge.
In maniera del tutto analoga si dimostra che
2) Se $(a_n)/(b_n)\to+\infty$ allora se $sum b_n$ diverge, anche $sum a_n$ diverge.
3) Se $(a_n)/(b_n)\to1$ allora le due serie hanno lo stesso carattere.
Chiaro? Mnemonicamente:
1) $(a_n)/(b_n)\to0$ significa che $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$;
2) $(a_n)/(b_n)\to + \infty$ signfica che $a_n$ è "asintoticamente più grande" di $b_n$;
3) $(a_n)/(b_n)\to1$ significa che $a_n$ e $b_n$ sono "asintoticamente equivalenti".
Queste non sono disuguaglianze (o uguaglianze, nel caso dell'equivalenza asintotica) vere per ogni $n$, ma per i fini del confronto tra serie puoi comportarti come se lo fossero.
Supponiamo che $sum a_n$, $sum b_n$ siano due serie a termini positivi. Abbiamo allora un teorema, detto criterio del confronto, che dice:
se $a_n <= b_n$ per ogni $n\in NN$, allora:
i) se $sum b_n$ converge, allora anche $sum a_n$ converge;
ii) se $sum a_n$ diverge, allora anche $sum b_n$ diverge.
[size=75]Sai dimostrare questo teorema? E' molto importante che tu sappia farlo.[/size]
Nelle ipotesi ho scritto $a_n<=b_n$ per ogni $n \in NN$. Ma non è necessario che questa disuguaglianza sia verificata proprio per ogni $n$. Se $a_n<=b_n$ dovesse essere vero da un certo indice in poi andrebbe bene lo stesso ([size=75]Perché? E' molto importante anche che tu sappia rispondere a questa domanda.[/size]). Proprio su questo dobbiamo fare leva per procurarci il criterio di confronto asintotico.
Infatti il criterio di confronto non è sempre di facile applicabilità. Può essere complicato mostrare esplicitamente una disuguaglianza del tipo $a_n<=b_n$, specialmente se questa dovesse essere verificata solo da un certo indice in poi. In molti casi è più semplice verificare qualche condizione al limite, piuttosto che sui singoli termini delle successioni.
Supponiamo infatti che $(a_n)/(b_n) \to 0$, ed esplicitiamo la definizione di limite. Risulta che
$\forall epsilon >0 \exists \nu \in NN\ :\ (n > nu) => (a_n)/(b_n)<=epsilon$;
Per $epsilon=1$, ricordando che le successioni in esame sono positive, otteniamo che
$\exists \nu \in NN\ :\ (n > nu) => a_n<=b_n$;
ovvero una disuguaglianza come nel criterio di confronto, valida da un certo indice $nu$ in poi! Sussiste quindi la conclusione i) del criterio di confronto. Ricapitolando:
1) Se $(a_n)/(b_n)\to0$ allora se $sum b_n$ converge, anche $sum a_n$ converge.
In maniera del tutto analoga si dimostra che
2) Se $(a_n)/(b_n)\to+\infty$ allora se $sum b_n$ diverge, anche $sum a_n$ diverge.
3) Se $(a_n)/(b_n)\to1$ allora le due serie hanno lo stesso carattere.
Chiaro? Mnemonicamente:
1) $(a_n)/(b_n)\to0$ significa che $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$;
2) $(a_n)/(b_n)\to + \infty$ signfica che $a_n$ è "asintoticamente più grande" di $b_n$;
3) $(a_n)/(b_n)\to1$ significa che $a_n$ e $b_n$ sono "asintoticamente equivalenti".
Queste non sono disuguaglianze (o uguaglianze, nel caso dell'equivalenza asintotica) vere per ogni $n$, ma per i fini del confronto tra serie puoi comportarti come se lo fossero.
Questo mi confonde molto, in quanto ho chiesto esplicitamente al prof cosa volesse dire nel confronto asintotico se [tex]\frac{a_n}{b_n} \to 0[/tex] oppure [tex]\frac{a_n}{b_n} \to +\infty[/tex] e lui mi ha detto che in tal caso non possiamo dire nulla sul carattere delle due serie. Inoltre sul libro c'è scritto che due serie hanno lo stesso carattere se il limite di [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex] risulta essere finito e maggiore di zero e non per forza pari a 1
Infatti [tex]\frac{a_n}{b_n} \to +\infty[/tex] dovrebbe significare che [tex]\forall k \in \mathbb{R}[/tex] definitivamente [tex]\frac{a_n}{b_n}>k \Leftrightarrow a_n>k b_n[/tex] per cui se [tex]\sum a_n[/tex] diverge, se volessimo applicare ora il criterio del Confronto, come facciamo a dire che [tex]\sum b_n[/tex] diverge???
Che mi sia perso un passaggio?
Infatti [tex]\frac{a_n}{b_n} \to +\infty[/tex] dovrebbe significare che [tex]\forall k \in \mathbb{R}[/tex] definitivamente [tex]\frac{a_n}{b_n}>k \Leftrightarrow a_n>k b_n[/tex] per cui se [tex]\sum a_n[/tex] diverge, se volessimo applicare ora il criterio del Confronto, come facciamo a dire che [tex]\sum b_n[/tex] diverge???
Che mi sia perso un passaggio?
Non stai riflettendo abbastanza su quello che ti ho detto. Cerca di mantenere la calma e di non attribuire alle cose significati che non hanno.
Ho mai detto il contrario? Quanto hai scritto, da solo non significa nulla. Con le notazioni del post precedente, stai dicendo che $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$ oppure che è "asintoticamente più grande". Chiaramente questo non ti permette di concludere nulla sul carattere delle due serie, devi aggiungere qualche ipotesi: ad esempio se $sum b_n$ converge e $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$, allora anche $sum a_n$ converge. Senza quel "se" non puoi concludere proprio niente.
"Orlok":
Questo mi confonde molto, in quanto ho chiesto esplicitamente al prof cosa volesse dire nel confronto asintotico se [tex]\frac{a_n}{b_n} \to 0[/tex] oppure [tex]\frac{a_n}{b_n} \to +\infty[/tex] e lui mi ha detto che in tal caso non possiamo dire nulla sul carattere delle due serie.
Ho mai detto il contrario? Quanto hai scritto, da solo non significa nulla. Con le notazioni del post precedente, stai dicendo che $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$ oppure che è "asintoticamente più grande". Chiaramente questo non ti permette di concludere nulla sul carattere delle due serie, devi aggiungere qualche ipotesi: ad esempio se $sum b_n$ converge e $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$, allora anche $sum a_n$ converge. Senza quel "se" non puoi concludere proprio niente.
Inoltre sul libro c'è scritto che due serie hanno lo stesso carattere se il limite di [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex] risulta essere finito e maggiore di zero e non per forza pari a 1E ti pare che ci sia grande differenza? Se ${a_n}/{b_n}\to \lambda$, $0<\lambda<\infty$, allora ${a_n}/{lambda b_n}\to 1$ e la serie $sum lambda b_n$ ha lo stesso carattere della serie $sum b_n$. Ecco dimostrato il teorema del tuo libro partendo dal nostro.
Infatti [tex]\frac{a_n}{b_n} \to +\infty[/tex] dovrebbe significare che [tex]\forall k \in \mathbb{R}[/tex] definitivamente [tex]\frac{a_n}{b_n}>k \Leftrightarrow a_n>k b_n[/tex] per cui se [tex]\sum a_n[/tex] diverge, se volessimo applicare ora il criterio del Confronto, come facciamo a dire che [tex]\sum b_n[/tex] diverge???Rileggi quanto ho scritto prima per favore. Io parlavo del caso ${a_n}/{b_n}\to0$ ma il concetto è lo stesso. Quella proposizione è vera "per ogni $k$". Quindi è vera anche per $k=1$. Che conclusioni puoi trarre? Che, se $sum b_n$ diverge, allora...
Rileggi quanto ho scritto prima per favore. Io parlavo del caso ${a_n}/{b_n}\to0$ ma il concetto è lo stesso. Quella proposizione è vera "per ogni $k$". Quindi è vera anche per $k=1$. Che conclusioni puoi trarre? Che, se $sum b_n$ diverge, allora...
Chiaro. E' che avevo cominciato a leggere "se [tex]\sum a_n[/tex] diverge..." e non "se [tex]\sum b_n[/tex] diverge..." , quindi non riuscivo a trovare il collegamento col teorema del Confronto semplice.
Quindi vediamo se ho capito....
Se il termine generale di una serie risulta, ad esempio, "asintoticamente" più grande o più piccolo di quello di un'altra, si può comunque applicare il criterio del confronto, in quanto "da un certo posto in poi" l'eventuale disuguaglianza risulta verificata (come quando si elide una quantità finita di termini), giusto?
"Orlok":Vero, mi ero sbagliato a scrivere, scusami.
Chiaro. E' che avevo cominciato a leggere "se [tex]\sum a_n[/tex] diverge..." e non "se [tex]\sum b_n[/tex] diverge..." , quindi non riuscivo a trovare il collegamento col teorema del Confronto semplice.
Se il termine generale di una serie risulta, ad esempio, "asintoticamente" più grande o più piccolo di quello di un'altra, si può comunque applicare il criterio del confronto, in quanto "da un certo posto in poi" l'eventuale disuguaglianza risulta verificata (come quando si elide una quantità finita di termini), giusto?Esatto. Stai lasciando fuori solo il caso in cui ${a_n}/{b_n}\to1$, che ci permette di affermare che le due serie hanno lo stesso carattere. Anche qui è molto semplice: per definizione di limite
$\forall epsilon >0\ \exists \nu \in NN\ :\ (n > nu) \Rightarrow (1 - epsilon<= {a_n}/{b_n} <= 1 + epsilon)$;
Se $sum b_n$ è convergente, per $epsilon=1$ otteniamo che $a_n<=2b_n$ definitivamente, quindi $sum a_n$ è convergente per confronto con $sum 2b_n$; se $sum b_n$ è divergente, per $epsilon= 1/2$ otteniamo $1/2b_n<=a_n$ definitivamente, quindi $sum a_n$ è divergente per confronto con $sum 1/2b_n$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo