Dubbio sul carattere di una serie
Salve,
Io avrei una serie così fatta:
[tex]\sum (arcsin \frac{1}{n})\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex]
Applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi ho sostituito [tex](arcsin \frac{1}{n})[/tex] con [tex]\frac{1}{n}[/tex], ottenendo quindi come termine generale della serie:
[tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})=\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n}}[/tex]
poi ho scritto:
[tex][(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}[/tex]
in cui la quantità entro parentesi quadra ha come limite [tex]e[/tex] e pertanto:
[tex]lim [(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}=e^0=1[/tex]
Segue che, essendo il limite del logaritmo pari al logaritmo del suo limite, ed essendo tale limite pari a 1, il termine generale della serie converge a zero, verificando la C.N. Ora, come faccio a poter dire con certezza che la serie converge?
Io avrei una serie così fatta:
[tex]\sum (arcsin \frac{1}{n})\ln (1+\frac{1}{\sqrt n})[/tex]
Applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi ho sostituito [tex](arcsin \frac{1}{n})[/tex] con [tex]\frac{1}{n}[/tex], ottenendo quindi come termine generale della serie:
[tex]\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})=\ln (1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n}}[/tex]
poi ho scritto:
[tex][(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}[/tex]
in cui la quantità entro parentesi quadra ha come limite [tex]e[/tex] e pertanto:
[tex]lim [(1+\frac{1}{n^{1/2}})^{\frac{1}{n^{1/2}}}]^{\frac{1}{n^{1/2}}}=e^0=1[/tex]
Segue che, essendo il limite del logaritmo pari al logaritmo del suo limite, ed essendo tale limite pari a 1, il termine generale della serie converge a zero, verificando la C.N. Ora, come faccio a poter dire con certezza che la serie converge?
Risposte
Ok. Quindi, ricapitolando...
Potresti confermarmi che effettivamente [tex]\frac{\log^2(n\log 2)}{n} \to 0[/tex] ? No, perchè mi sta venendo il dubbio che facendo il quadrato di [tex][\log n + \log (\log 2)]^2[/tex] ovvero [tex]\log^{2}n + \log^{2}(\log2) + 2\log n \log (\log 2)[/tex] , dividendo il primo termine per n, ossia [tex]\frac{\log^{2}n}{n}=\frac{\log n}{n}\log n \to 0*(+\infty)[/tex]
(*)
Se invece è veramente così, allora essendo che definitivamente [tex]\frac{1}{n}<\frac{1}{\log^2(n\log 2)}[/tex] allora potrei dire che [tex]\sum \frac{1}{\log^2(n\log 2)}[/tex] diverge e di conseguenza per il criterio di condensazione di Cauchy diverge anche la serie [tex]\sum \frac{1}{n \log^{2}\log n}[/tex]
EDIT: (*) avevo fatto questo ragionamento per decretare che [tex]\frac{\log^{2}n}{n} \to 0[/tex] : [tex]\frac{\log^{2}n}{n}=\frac{1}{n} \log^{2}n=\log^{2}n^{\frac{1}{n}}=(\log n^{\frac{1}{n}})(\log n^{\frac{1}{n}}) \to 0*0=0[/tex]
"dissonance":
Cioé tu dici: ho una serie a termini positivi $sum 1/(a_n)$ (nel tuo caso $a_n=log^2(nlog2)$), e so che $(a_n)/n \to 0$. Allora $sum 1/(a_n)=+\infty$? Risposta: Sì, mi pare giusto.
Potresti confermarmi che effettivamente [tex]\frac{\log^2(n\log 2)}{n} \to 0[/tex] ? No, perchè mi sta venendo il dubbio che facendo il quadrato di [tex][\log n + \log (\log 2)]^2[/tex] ovvero [tex]\log^{2}n + \log^{2}(\log2) + 2\log n \log (\log 2)[/tex] , dividendo il primo termine per n, ossia [tex]\frac{\log^{2}n}{n}=\frac{\log n}{n}\log n \to 0*(+\infty)[/tex]
(*)Se invece è veramente così, allora essendo che definitivamente [tex]\frac{1}{n}<\frac{1}{\log^2(n\log 2)}[/tex] allora potrei dire che [tex]\sum \frac{1}{\log^2(n\log 2)}[/tex] diverge e di conseguenza per il criterio di condensazione di Cauchy diverge anche la serie [tex]\sum \frac{1}{n \log^{2}\log n}[/tex]
EDIT: (*) avevo fatto questo ragionamento per decretare che [tex]\frac{\log^{2}n}{n} \to 0[/tex] : [tex]\frac{\log^{2}n}{n}=\frac{1}{n} \log^{2}n=\log^{2}n^{\frac{1}{n}}=(\log n^{\frac{1}{n}})(\log n^{\frac{1}{n}}) \to 0*0=0[/tex]
Il limite $lim_{n \to infty}\frac{(log(n log 2))^2}{n}$ fa effettivamente zero. Il ragionamento che fai nell'EDIT, però, è sbagliato. Infatti non è vero che $1/n (logn)^2 = (log (n ^(1/n)))^2$.
Ah ok, forse ho capito....
Ho provato a dividere tutti i termini che risultano dallo sviluppo del quadrato, anziché per [tex]n[/tex] come avevevo fatto prima, per [tex]n\log n[/tex]. Quindi:
[tex][\log n + \log (\log 2)]^2=\log^{2}n + \log^{2}(\log2) + 2\log n \log (\log 2)[/tex] ;
A questo punto divido tutto per [tex]n\log n[/tex], come ho detto:
[tex]\frac{\log^{2}n}{n \log n}=\frac{\log n}{n} \to 0[/tex]
per il secondo termine sarebbe banale in quanto diventerebbe prodotto di costante per infinitesimo, mentre per il terzo:
[tex]\frac{2\log n \log (\log2)}{n\log n}=\frac{2\log (\log2)}{n} \to 0[/tex]
Allora, visto che [tex]\frac{1}{n\log n}[/tex] oltre che essere il termine generale di una serie divergente, è asintoticamente più piccolo di [tex]\frac{1}{[\log n + \log (\log 2)]^2}[/tex]. Ragion per cui la serie [tex]\sum \frac{1}{[\log n + \log (\log 2)]^2}[/tex] diverge.
Adesso quadra?
Ho provato a dividere tutti i termini che risultano dallo sviluppo del quadrato, anziché per [tex]n[/tex] come avevevo fatto prima, per [tex]n\log n[/tex]. Quindi:
[tex][\log n + \log (\log 2)]^2=\log^{2}n + \log^{2}(\log2) + 2\log n \log (\log 2)[/tex] ;
A questo punto divido tutto per [tex]n\log n[/tex], come ho detto:
[tex]\frac{\log^{2}n}{n \log n}=\frac{\log n}{n} \to 0[/tex]
per il secondo termine sarebbe banale in quanto diventerebbe prodotto di costante per infinitesimo, mentre per il terzo:
[tex]\frac{2\log n \log (\log2)}{n\log n}=\frac{2\log (\log2)}{n} \to 0[/tex]
Allora, visto che [tex]\frac{1}{n\log n}[/tex] oltre che essere il termine generale di una serie divergente, è asintoticamente più piccolo di [tex]\frac{1}{[\log n + \log (\log 2)]^2}[/tex]. Ragion per cui la serie [tex]\sum \frac{1}{[\log n + \log (\log 2)]^2}[/tex] diverge.
Adesso quadra?
Che macello... 
Una cosa alla volta, per favore, altrimenti fatico a seguirti. Cosa stai cercando di fare? Se stai cercando di dimostrare che
$lim_{n \to infty}\frac{(log(n log 2))^2}{n}=0$
non è necessario fare troppi salti mortali: è una semplice applicazione del limite notevole
$\forall alpha > 0,\ lim_{k \to infty} \frac{log k}{k^alpha}=0$.
Una cosa alla volta, per favore, altrimenti fatico a seguirti. Cosa stai cercando di fare? Se stai cercando di dimostrare che
$lim_{n \to infty}\frac{(log(n log 2))^2}{n}=0$
non è necessario fare troppi salti mortali: è una semplice applicazione del limite notevole
$\forall alpha > 0,\ lim_{k \to infty} \frac{log k}{k^alpha}=0$.
Ci avevo pensato....Ma c'era quel quadrato del logaritmo che mi confonde. Come posso dimostrare allora che [tex]\frac{(\log n)^2}{n}[/tex] si comporta come il limite notevole [tex]\frac{\log n}{n} \to 0[/tex] ???? In effetti potrei applicare la radice quadrata sia a numeratore che a denominatore . In fondo [tex]\alpha[/tex] basta che sia positivo.
. In fondo [tex]\alpha[/tex] basta che sia positivo.
Osserva che $(log(nlog2))^2/n=((log(nlog2))/(n^(1/2)))^2$.
Ah ecco. Così mi risparmio di sviluppare il quadrato 
Grazie di tutto. Gentilissimo^^
Grazie di tutto. Gentilissimo^^
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