Dubbio sul calcolo di una derivata (teorema divergenza)
Si consideri il campo vettoriale in $R^3$ :
$ F(x,y,z)=r/|r|^2$
Th : calcolare div F
Il testo effettua una sostituzione : $r=(x,y,z)$ ed $|r|=rho=sqrt(x^2+y^2+z^2)$
Per poi calcolare la seguente derivata parziale:
$(partial(x/rho^2))/(partial x)=(rho^2-x2rho*x/rho)/rho^4$
Non riesco a capire da dove spunta quel: $x/rho$
Mio ragionamento:
Questa è la derivata del rapporto di due funzioni : $x$ e $rho(x,y,z)$
quindi ho - derivata del primo PER il secondo non derivato : $rho^2$
meno
- primo non derivato : x PER la derivata della seconda funzione
fratto il quadrato della seconda funzione.
Ora $(partial rho(x,y,z)^2)/(partial x)$ , è la derivata di una funzione composta:
quindi ho derivata della funzione più esterna: $2rho$
DOMANDA: ma la derivata della funzione più interna come fa ad essere : $x/rho$ ??
visto che: $rho=sqrt(x^2+y^2+z^2)$, non dovrebbe essere : $2x$ ?
$ F(x,y,z)=r/|r|^2$
Th : calcolare div F
Il testo effettua una sostituzione : $r=(x,y,z)$ ed $|r|=rho=sqrt(x^2+y^2+z^2)$
Per poi calcolare la seguente derivata parziale:
$(partial(x/rho^2))/(partial x)=(rho^2-x2rho*x/rho)/rho^4$
Non riesco a capire da dove spunta quel: $x/rho$
Mio ragionamento:
Questa è la derivata del rapporto di due funzioni : $x$ e $rho(x,y,z)$
quindi ho - derivata del primo PER il secondo non derivato : $rho^2$
meno
- primo non derivato : x PER la derivata della seconda funzione
fratto il quadrato della seconda funzione.
Ora $(partial rho(x,y,z)^2)/(partial x)$ , è la derivata di una funzione composta:
quindi ho derivata della funzione più esterna: $2rho$
DOMANDA: ma la derivata della funzione più interna come fa ad essere : $x/rho$ ??
visto che: $rho=sqrt(x^2+y^2+z^2)$, non dovrebbe essere : $2x$ ?
Risposte
Stai confondendo le funzioni. La funzione interna, nel tuo ragionamento, è $\rho(x,y,z)$.
"CallistoBello":
$rho=sqrt(x^2+y^2+z^2)$, non dovrebbe essere : $2x$ ?
La derivata esterna risulta $2x/2$
$ (partial rho)/(partialx)=partial sqrt(x^2+y^2+z^2)/(partial x)= 2x/2 *1/sqrt(x^2+y^2+z^2)=x/rho $
Chiaro
Chiaro
L'importante è non mischiare le due cose. O si eleva prima al quadrato la funzione $\rho(x,y,z)$ e poi la si deriva rispetto a $x$ (a questo punto non è più una funzione composta) o si deriva rispetto a $x$ la funzione $\rho(x,y,z)^2$ senza riscriverla equivalentemente elevata al quadrato (e allora è la derivata di una funzione composta).
Con la regola della catena (omettendo la dipendenza di $\rho$ da $(x,y,z)$ alla fine):
$$\frac{\partial \left(\left(\rho(x,y,z)\right)^2\right)}{\partial x}=2 \rho(x,y,z) \cdot \frac{\partial \rho(x,y,z)}{\partial x}=2 \rho (x,y,z) \cdot \frac{\partial \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\partial x}$$
$$=2 \rho (x,y,z) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cdot \frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial x}=2 \rho(x,y,z) \frac{x}{\rho(x,y,z)}=2 \rho \cdot \frac{x}{\rho}=2x$$
Eliminando la composizione:
$$\frac{\partial \left(\left(\rho(x,y,z)\right)^2\right)}{\partial x}=\frac{\partial \left(\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^2\right)}{\partial x}=\frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial x}=2x$$
Con la regola della catena (omettendo la dipendenza di $\rho$ da $(x,y,z)$ alla fine):
$$\frac{\partial \left(\left(\rho(x,y,z)\right)^2\right)}{\partial x}=2 \rho(x,y,z) \cdot \frac{\partial \rho(x,y,z)}{\partial x}=2 \rho (x,y,z) \cdot \frac{\partial \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\partial x}$$
$$=2 \rho (x,y,z) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cdot \frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial x}=2 \rho(x,y,z) \frac{x}{\rho(x,y,z)}=2 \rho \cdot \frac{x}{\rho}=2x$$
Eliminando la composizione:
$$\frac{\partial \left(\left(\rho(x,y,z)\right)^2\right)}{\partial x}=\frac{\partial \left(\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^2\right)}{\partial x}=\frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial x}=2x$$
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