Dubbio sul calcolo di un flusso!
Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio su un esercizio, che mi chiede di calcolare il flusso uscente di $F$ da $\partial D$, dove $F= (3xy, z\sin(x)-y^2, z-8)$ e D è l'insieme ${(x,y,z)\in R: y\geq 0, x^2 + y^2 + z^2 \leq 9}$.
Dunque, innanzitutto: l'insieme $D$ è chiaramente una semisfera centrata nell'origine, di raggio 3, che poggia sul piano $xz$ e che vive solo per le $y$ positive. Non è una superfice chiusa, perchè manca qualcosa che "tappi" la circonferenza equatoriale, quindi non posso risolvere l'esercizio sfruttando il teorema di Gauss (o della divergenza) per il calcolo del flusso. Tuttavia posso ragionare in questo modo: immagino che ci sia un cerchio poggiato sul piano $xz$, centrato in 0 e di raggio 3, e lo chiamo $D'$: ora la mia calotta è chiusa. Utilizzando il teorema della divergenza troverei il flusso uscente dalla superficie formata da $D$ e da $D'$, quindi se calcolo a parte il flusso uscente solo da $D'$ e lo sottraggo, troverei il flusso uscente solamente da $D$. In formule:
$\Phi (F) = \Phi_{\partial D} (F) + \Phi_{\partial D'} (F) \Rightarrow \Phi_{\partial D} (F) = \Phi (F) - \Phi_{\partial D'} (F)$
Inizio calcolando il flusso totale, con il teorema della divergenza. Ottengo l'integrale triplo:
$int int int_(D) (y+1) dxdydz$
che si risolve facilmente passando alle coordinate sferiche. Il risultato è $81/4 pi$
Ora, la soluzione del mio esercizio riporta: $(intintint_{D} (y+1) dxdydz )+ 18\pi = \frac{153\pi}{4}$, ed effettivamente $\frac{81\pi}{4} + 18\pi = \frac{153\pi}{4}$, perciò il mio integrale è corretto. Quel $18\pi$ non può che essere il flusso uscente da D', che devo calcolare, utilizzando la definizione: $intint_{D'} F*hatn*dS = intint_{D'} F*(r_u xx r_v)$
Comincio calcolando il vettore $(r_u xx r_v)$ , facendo il cambio con le seguenti coordinate: ${ (x= \rho cos\theta ),( y=0 ),(z= \rho sin\theta ):}$
(spero di aver pensato giusto, ho messo la y a 0 e scritto le coordinate polari di x e z)
Ottengo $(0, -\rho ,0)$, proprio come mi aspettavo, infatti è un vettore con componenti $hati$ e $hatk$ nulle, e $hatj$ diretta verso le y negative.
A questo punto dovrei eseguire il prodotto scalare tra $F$ e il vettore normale appena trovato, dopo aver sostituito le coordinate polari all'interno di $F$. Ecco però il dubbio: $F_2$ (che guarda caso è l'unica componente che non si annulla nel prodotto scalare, e che quindi dovrei integrare) risulta essere: $(\rho sin\theta)*sin(\rho cos\theta)$, perciò l'integrale doppio da risolvere sarebbe: $intint_{D'}(\rho sin\theta)*sin(\rho cos\theta) d\rho d\theta $, che mi fa un po' paura.. ho mica sbagliato qualcosa nel ragionamento? Oppure c'è un'altra via che ho perso di vista?
Spero di essermi spiegato bene, e grazie in anticipo per le risposte!
Dunque, innanzitutto: l'insieme $D$ è chiaramente una semisfera centrata nell'origine, di raggio 3, che poggia sul piano $xz$ e che vive solo per le $y$ positive. Non è una superfice chiusa, perchè manca qualcosa che "tappi" la circonferenza equatoriale, quindi non posso risolvere l'esercizio sfruttando il teorema di Gauss (o della divergenza) per il calcolo del flusso. Tuttavia posso ragionare in questo modo: immagino che ci sia un cerchio poggiato sul piano $xz$, centrato in 0 e di raggio 3, e lo chiamo $D'$: ora la mia calotta è chiusa. Utilizzando il teorema della divergenza troverei il flusso uscente dalla superficie formata da $D$ e da $D'$, quindi se calcolo a parte il flusso uscente solo da $D'$ e lo sottraggo, troverei il flusso uscente solamente da $D$. In formule:
$\Phi (F) = \Phi_{\partial D} (F) + \Phi_{\partial D'} (F) \Rightarrow \Phi_{\partial D} (F) = \Phi (F) - \Phi_{\partial D'} (F)$
Inizio calcolando il flusso totale, con il teorema della divergenza. Ottengo l'integrale triplo:
$int int int_(D) (y+1) dxdydz$
che si risolve facilmente passando alle coordinate sferiche. Il risultato è $81/4 pi$
Ora, la soluzione del mio esercizio riporta: $(intintint_{D} (y+1) dxdydz )+ 18\pi = \frac{153\pi}{4}$, ed effettivamente $\frac{81\pi}{4} + 18\pi = \frac{153\pi}{4}$, perciò il mio integrale è corretto. Quel $18\pi$ non può che essere il flusso uscente da D', che devo calcolare, utilizzando la definizione: $intint_{D'} F*hatn*dS = intint_{D'} F*(r_u xx r_v)$
Comincio calcolando il vettore $(r_u xx r_v)$ , facendo il cambio con le seguenti coordinate: ${ (x= \rho cos\theta ),( y=0 ),(z= \rho sin\theta ):}$
(spero di aver pensato giusto, ho messo la y a 0 e scritto le coordinate polari di x e z)
Ottengo $(0, -\rho ,0)$, proprio come mi aspettavo, infatti è un vettore con componenti $hati$ e $hatk$ nulle, e $hatj$ diretta verso le y negative.
A questo punto dovrei eseguire il prodotto scalare tra $F$ e il vettore normale appena trovato, dopo aver sostituito le coordinate polari all'interno di $F$. Ecco però il dubbio: $F_2$ (che guarda caso è l'unica componente che non si annulla nel prodotto scalare, e che quindi dovrei integrare) risulta essere: $(\rho sin\theta)*sin(\rho cos\theta)$, perciò l'integrale doppio da risolvere sarebbe: $intint_{D'}(\rho sin\theta)*sin(\rho cos\theta) d\rho d\theta $, che mi fa un po' paura.. ho mica sbagliato qualcosa nel ragionamento? Oppure c'è un'altra via che ho perso di vista?
Spero di essermi spiegato bene, e grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
La tua soluzione è giusta e intelligente, se vuoi puoi approfondire su questo video del prof. Gobbino , risolve un calcolo di flusso molto simile al tuo al min 23 circa.
https://www.youtube.com/watch?v=bupBX7N ... q-4Fr_x-uG
https://www.youtube.com/watch?v=bupBX7N ... q-4Fr_x-uG
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