Dubbio sul calcolo del baricentro
Data la regione $x^2+y^2<=4$, $y>=-x$ ,$y>=x$ devo determinare il baricentro di una lamina omogenea che occupa tale regione.
Ho impostato l'esercizio così: x=0 perché simmetrico all'asse y, $y=1/(massa) int_(0)^(4) int_(-y)^(0) (kx) dxdy$ con x semplice. È giusto come ho ragionato?
Ho impostato l'esercizio così: x=0 perché simmetrico all'asse y, $y=1/(massa) int_(0)^(4) int_(-y)^(0) (kx) dxdy$ con x semplice. È giusto come ho ragionato?
Risposte
Sei in grado di disegnare la regione?
È un quarto di circonferenza, tra $π/4$ e $3/4π$
Non sono d'accordo, come procedi per disegnarla?
Prendo la parte interna della circonferenza, la parte a destra della retta y=-x e la parte a sinistra della retta y=x
Ok, allora ogni tanto dovresti usare qualche virgola 
pensavo che fosse $-xy$ compreso tra x e y.
Allora essendo la lamina omogenea, la posizione del suo baricentro dipenderà solo dalla sua geometria. Ad esempio nel caso di una lamina omogenea generica, come si calcola la componente orizzontale del baricentro?
pensavo che fosse $-xy$ compreso tra x e y. Allora essendo la lamina omogenea, la posizione del suo baricentro dipenderà solo dalla sua geometria. Ad esempio nel caso di una lamina omogenea generica, come si calcola la componente orizzontale del baricentro?
Scusa, ho aggiunto le virgole 
$y=1/(massa) int_(0)^(4) int_(-y)^(0) (kx) dxdy$ si calcola così no? In questo caso, essendo x-semplice pongo x dxdy per la sua relativa densità k
$y=1/(massa) int_(0)^(4) int_(-y)^(0) (kx) dxdy$ si calcola così no? In questo caso, essendo x-semplice pongo x dxdy per la sua relativa densità k
No, poi io ti ho chiesto la definizione per una generica lamina.
$y=1/(massa) int_()^() int_()^() (ky) dxdy$ con l'integrale definito lungo la curva. Lo stesso vale per la x
"effez":
con l'integrale definito lungo la curva.
Lungo la curva? Sarà lungo tutta la superficie della lamia!
Chiamiamo il dominio di integrazione $D$ e indichiamo con $|D|$ l'area del dominio, allora:
\(\displaystyle \overline{y}=\frac{1}{massa} \iint_{D} (ky) dxdy= \frac{1}{|D|k} \iint_{D} (ky) dxdy= \frac{1}{|D|} \iint_{D} y dxdy \)
Che dipende solo dalla geometria di D.
ora qual'è il modo migliore per risolvere quest'integrale, dato il dominio di sopra?
A questo punto non saprei... Con estremi di integrazione che vanno da 0 a 4 e da -x a 0?
Quello sarebbe proprio sbagliato, comunque si può fare anche in coordinate cartesiane. Secondo me il modo migliore per trattare un dominio a simmetria radiale come D è usare le coordinate polari.
Che estremi metteresti?
Proprio sbagliato perché?
Proprio sbagliato perché?
Tu come procederesti per ricavare gli estremi?
Non lo so, ho sempre utilizzato le coordinate cartesiane per risolvere questo tipo di esercizi
Cioè, se mi dici che 0,4 e -x,0 non sono giusti, quali sarebbero gli estremi da utilizzare sempre in coordinate cartesiane?
Cioè, se mi dici che 0,4 e -x,0 non sono giusti, quali sarebbero gli estremi da utilizzare sempre in coordinate cartesiane?
Allora ti consiglio di studiare bene questo metodo per il calcolo degli integrali doppi, è molto utile.
Quale metodo, con le coordinate polari? Quindi avrei 0,4 e -pcost,0?
Si, coordinate polari.
No.
Comunque non mi sembra molto corretto aggiungere frasi ai messaggi precedenti.
No.
Comunque non mi sembra molto corretto aggiungere frasi ai messaggi precedenti.
L'ho aggiunta subito la frase, probabilmente stavi rispondendo e non l'hai vista, scusami.
Come coordinate polari quali dovrei utilizzare?
Come coordinate polari quali dovrei utilizzare?
Perché quante ce ne sono?
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \)
naturalmente bisogna delimitare gli intervalli di variazione di $\rho$ e $\theta$. E pagare il giusto prezzo per le modifiche apportate!
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{matrix}\right. \)
naturalmente bisogna delimitare gli intervalli di variazione di $\rho$ e $\theta$. E pagare il giusto prezzo per le modifiche apportate!
:'( gli estremi sono 0,π/2 e pcost,0?
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