Dubbio sui numeri complessi
Ciao...
volevo chiedere solo una cosa che non mi è ben chiara....
se io ho un esercizio di questo tipo: "l'equazione $(z-ia)^4=-16$ con z appart C e dipendente dal parametro a appart R"
allora faccio la posizione $z-ia=w$ da cui ottengo $w^4=-16$
ora io devo trovare le radici di w per andare poi a trovare dalla sostituzione le corrispettive di z....e fin qui ci siamo
ma il mio dubbio è
considerando la formula per trovare le radici ennesime $w_k=(root(n)(|w|))(cos((t + 2kpi)/n) + isen(t + 2kpi)/n))$ con $t$ argomento principale, $k$ che va da 0 a (n-1)
per trovare il modulo di w come si fa?? cioè mi spiego meglio...
se $|w|=sqrt(x^2-y^2)$ allora $x$ è uguale alla radice quarta (che per altro non dovrebbe esistere) di -16 oppure è uguale a -16???
cioè io vorrei sapere in pratica...nella formula $w^4=-16$ abbiamo gia la $x$ della w che quindi è -16, oppure -16 è la x della $w^4$ e quindi si deve giungere alla x per la w...perchè il risultato finale dato da $root(n)|w|$ è diverso nei due casi....
grazie...spero di essere stato chiaro...ciao!!
volevo chiedere solo una cosa che non mi è ben chiara....
se io ho un esercizio di questo tipo: "l'equazione $(z-ia)^4=-16$ con z appart C e dipendente dal parametro a appart R"
allora faccio la posizione $z-ia=w$ da cui ottengo $w^4=-16$
ora io devo trovare le radici di w per andare poi a trovare dalla sostituzione le corrispettive di z....e fin qui ci siamo
ma il mio dubbio è
considerando la formula per trovare le radici ennesime $w_k=(root(n)(|w|))(cos((t + 2kpi)/n) + isen(t + 2kpi)/n))$ con $t$ argomento principale, $k$ che va da 0 a (n-1)
per trovare il modulo di w come si fa?? cioè mi spiego meglio...
se $|w|=sqrt(x^2-y^2)$ allora $x$ è uguale alla radice quarta (che per altro non dovrebbe esistere) di -16 oppure è uguale a -16???
cioè io vorrei sapere in pratica...nella formula $w^4=-16$ abbiamo gia la $x$ della w che quindi è -16, oppure -16 è la x della $w^4$ e quindi si deve giungere alla x per la w...perchè il risultato finale dato da $root(n)|w|$ è diverso nei due casi....
grazie...spero di essere stato chiaro...ciao!!
Risposte
E' chiaro che, visto che
$w^4 = -16$
il modulo comune delle quattro soluzioni (radici quarte di $-16$) è uguale a $2$.
Tieni conto che il modulo di un numero complesso è maggiore o uguale a zero.
$w^4 = -16$
il modulo comune delle quattro soluzioni (radici quarte di $-16$) è uguale a $2$.
Tieni conto che il modulo di un numero complesso è maggiore o uguale a zero.
per cui -16 è la x di $w^4$ e -2 quella di $w$??? come si fa a fare la radice quarta di un numero negativo nel campo reale??
nella tua formula hai messo appunto che il modulo lo trovi facendo $root(n)(|w|)$. Quindi tu hai $root(4)|-16|^2=2$. Quindi, le radici,si trovano in una circonferenza di raggio 2.
aggiungo che quel "meno" non lo perdi,perchè alla fine $-16=16(cospi+isinpi)$
ok...ma per farla breve...cioè io per trovare il modulo non devo considerare l'esponente in quanto $|w|=sqrt(x^2+y^2)$ è $|w|=sqrt((-16)^2+(0)^2)$ ovvero $|w|=sqrt((-16)^2)$ che è 16 e quindi per la fprmula generale dove ho $root(4)|w|$ ottengo $root(4)(16)$ che è 2
quindi in altre parole il modulo non si calcola tenendo presente il grado di w perchè comunque anche se avessi avuto $w^14$ il modulo era sempre lo stesso...l'unica cosa che cambiava era $root(n)|w|$
spero di non aver capito un pasticcio....confermate???? =(
PS. e quindi per concludere quello che a me serviva...cioè la x è gia -16, mentre la y in questo caso è 0 (se invece avessimo avuto $w^9=7-8i$ allora il modulo di w era dato dalla radice quadrata di $7^2+(-8)^2$
giusto??
quindi in altre parole il modulo non si calcola tenendo presente il grado di w perchè comunque anche se avessi avuto $w^14$ il modulo era sempre lo stesso...l'unica cosa che cambiava era $root(n)|w|$
spero di non aver capito un pasticcio....confermate???? =(
PS. e quindi per concludere quello che a me serviva...cioè la x è gia -16, mentre la y in questo caso è 0 (se invece avessimo avuto $w^9=7-8i$ allora il modulo di w era dato dalla radice quadrata di $7^2+(-8)^2$
giusto??
Se hai l'equazione $w^n=a$ nell'incognita $w$, dove $a in CC$ è fissato, allora i $w$ che la risolvono hanno modulo $|a|^{1/n}$.
(per vederlo basta prendere i moduli! Da $w^n=a$ segue $|w|^n=|a|$ da cui $|w|=|a|^{1/n}$)
No.
Il modulo delle soluzioni di $w^9=7-8i$ è dato dalla radice nona del modulo di $7-8i$ (vedi sopra).
(per vederlo basta prendere i moduli! Da $w^n=a$ segue $|w|^n=|a|$ da cui $|w|=|a|^{1/n}$)
"mikelozzo":
se invece avessimo avuto $w^9=7-8i$ allora il modulo di w era dato dalla radice quadrata di $7^2+(-8)^2$
No.
Il modulo delle soluzioni di $w^9=7-8i$ è dato dalla radice nona del modulo di $7-8i$ (vedi sopra).
non capiro mai .... 
Riproviamo
$w^4=-16$,
$|w^4|=sqrt((-16)^2)$,
$|w|=root(4)(|w^4|)=root(4)16=2$
ci sei?
$w^4=-16$,
$|w^4|=sqrt((-16)^2)$,
$|w|=root(4)(|w^4|)=root(4)16=2$
ci sei?
quindi se io avessi tipo nel caso di prima $w^9=7-8i$
allora $|w^9|=sqrt(7^2+(-8)^2)
$|w|=root(9)|w^9|=root(9)(sqrt(113))$ ?????????????????
ci sono arrivato??
allora $|w^9|=sqrt(7^2+(-8)^2)
$|w|=root(9)|w^9|=root(9)(sqrt(113))$ ?????????????????
ci sono arrivato??
"mikelozzo":
ci sono arrivato??
Sì
ok grazie!!!
per l'argomento principale $t$ se come da esercizio ho $w^4=-16$ e quindi si ha in forma grafica che:
http://img25.imageshack.us/img25/5092/graficovo2.jpg
allora per il calcolo dell'argomento posso considerare $t$ indifferentemente nel secondo e nel terzo quadrante o per forza in uno dei due che nn riesco a scegliere (anche se in quel caso penso sia il secondo dato che l'angolo per la maggiorparte è compreso li..)
in pratica....io voglio capire una cosa perchè è quella che mi interessa per risolvere l'esercizio dato che mi serve sia per il calcolo del modulo che per il calcolo dell'argomento
quando io ho una equazione di forma $w^4=-16$ se $w=x+iy$ come mi ricavo la $x$ e la $y$????
è questo che ancora nn riesco a capire...perchè ad esempio mi serviva sia per il modulo di w che è $sqrt(x^2+y^2)$ che per l'argomento quando ad esempio essendo nel secondo quadrante per calcolarlo $t=arccos(x/(sqrt(x^2+y^2)))$ per cui io vorrei proprio capire come si calcolano la $x$ e la $y$...
uffi...
http://img25.imageshack.us/img25/5092/graficovo2.jpg
allora per il calcolo dell'argomento posso considerare $t$ indifferentemente nel secondo e nel terzo quadrante o per forza in uno dei due che nn riesco a scegliere (anche se in quel caso penso sia il secondo dato che l'angolo per la maggiorparte è compreso li..)
in pratica....io voglio capire una cosa perchè è quella che mi interessa per risolvere l'esercizio dato che mi serve sia per il calcolo del modulo che per il calcolo dell'argomento
quando io ho una equazione di forma $w^4=-16$ se $w=x+iy$ come mi ricavo la $x$ e la $y$????
è questo che ancora nn riesco a capire...perchè ad esempio mi serviva sia per il modulo di w che è $sqrt(x^2+y^2)$ che per l'argomento quando ad esempio essendo nel secondo quadrante per calcolarlo $t=arccos(x/(sqrt(x^2+y^2)))$ per cui io vorrei proprio capire come si calcolano la $x$ e la $y$...
uffi...
Se il tuo problema è determinare le radici quarte del numero $-16$ , cioè risolvere l'equazione $w^4 =-16 $ basta usare la formula che dà le radici ennesime di un numero complesso.
Nel caso specifico si ha
$w = 2[cos(pi+2kpi)/4 +sin(pi+2kpi)/4] $ con $k=0,1,2,3 $ .
ad esempio $w_1 = sqrt(2)(1+i) $ etc....
Nel caso specifico si ha
$w = 2[cos(pi+2kpi)/4 +sin(pi+2kpi)/4] $ con $k=0,1,2,3 $ .
ad esempio $w_1 = sqrt(2)(1+i) $ etc....
probabilemte non mi riesco a spiegare.....
so quale è la formula delle radici ennesime ma non riesco ad applicarla perchè come ho detto gia a me servono la $x$ e la $y$ per trovare il modulo e l'argomento....non so essere piu chiaro di cosi..
so quale è la formula delle radici ennesime ma non riesco ad applicarla perchè come ho detto gia a me servono la $x$ e la $y$ per trovare il modulo e l'argomento....non so essere piu chiaro di cosi..
"mikelozzo":
probabilemte non mi riesco a spiegare.....
so quale è la formula delle radici ennesime ma non riesco ad applicarla perchè come ho detto gia a me servono la $x$ e la $y$ per trovare il modulo e l'argomento....non so essere piu chiaro di cosi..
Come non riesci ad applicarla?
Se hai $w^4=-16$ allora il modulo delle soluzioni (come gia' osservato) e' $2$, gli argomenti sono $(pi+2k pi)/4$ al variare di $k$ nei naturali (e' questa la cosa di cui vorresti sapere il motivo?), cioe' sono $pi/4$, $3/4 pi$, $5/4 pi$, $7/4 pi$. Quindi le quattro soluzioni sono:
$2(cos(pi/4)+i sin(pi/4)) = sqrt(2) (1+i)$ ---------- (in questo caso $x=sqrt(2)$, $y=sqrt(2)$)
$2(cos(3/4 pi)+i sin(3/4 pi)) = sqrt(2) (-1+i)$ ----------- (in questo caso $x=-sqrt(2)$, $y=sqrt(2)$)
$2(cos(5/4 pi)+i sin(5/4 pi)) = sqrt(2) (-1-i)$ ------------ (in questo caso $x=-sqrt(2)$, $y=-sqrt(2)$)
$2(cos(7/4 pi)+i sin(7/4 pi)) = sqrt(2) (1-i)$ --------------- (in questo caso $x=sqrt(2)$, $y=-sqrt(2)$)
Come vedi usando la formula delle radici n-esime ho trovato la $x$ e la $y$ di ogni soluzione.
considerando la formula per trovare le radici ennesime $w_k=(root(n)(|w|))(cos((t + 2kpi)/n) + isen(t + 2kpi)/n))$ con $t$ argomento principale, $k$ che va da 0 a (n-1)
ehm....no
senti ci provo meglio
allora
le radici ennesime si trovano con quella formula ok??
va bene fin qui ci siamo
ora però non so perchè ma tu metti al posto dell'argomento principale sempre $pi$ mentre la nostra prof mette nella formula un argomento $t$ calcolabile a seconda che esso cada nel primo, secondo, terzo o quarto quadrante e non è quasi mai (l'argomento iniziale) = $pi$
ma è dato da questi casi:
$|w|=sqrt(x^2+y^2)$ con w=x+iy
se:
1-4 quad. $t=arctg(y/x)$
2 $t=pi+arctg(y/x)$
3 $t=-pi+arctg(y/x)$
1-2 quad $t=arccos(x/(sqrt(x^2+y^2))$
3-4 $t=-arccos(x/(sqrt(x^2+y^2))$
1-4 quad $t=arcsin(y/(sqrt(x^2+y^2))$
2 $t=pi-arcsin(y/(sqrt(x^2+y^2))$
3 $t=-pi-arcsin(y/(sqrt(x^2+y^2))$
ora detto cio...a me serve capire se quando ho un numero complesso $w^n$ = qualcosa allora quel qualcosa è gia la $x$ e la $y$ da utilizzare per giungere a modulo e argomento o quella parte non è gia la x,y che a me serve e dunque me la devo trovare...
non so piu come spiegarmi...
cioè per fare l'esempio concreto...$w^4=-16$ " quale è la $x$ e la $y$ che mi servono per w=x+iy????
Guarda scrivitelo così
$w^4 = -16$ posto $w = \rho*(cos\theta + i sin \theta)$ l'espressione diventa
$(\rho(sin\theta + i sin \theta))^4 = -16$
Adesso portati anche il -16 nella stessa forma, ricordando che $|-16| = |-16 + i0| = sqrt((-16)^2 + (0)^2) = 16$ (anche perchè è reale)
Risultato
$-16 = 16((-16)/16 + (i0)/16) = 16(-1 + i0)$
adesso -1 e 0 ti indicano rispettivamente coseno e seno di $\theta$, ovvero $\theta = \pi$(ancora una volta ci si può arrivare considerando che -16 è nella parte di retta "negativa" reale)
$(\rho)^4(sin(4\theta) + i sin(4\theta)) = 16(cos(\pi+2k\pi) + i*sin(\pi+2k\pi))
adesso basta eguagliare modulo e argomento
$\rho^4 = 16$
$4\theta = \pi +2k\pi$
Che ti danno
$\rho = 2$
$\theta = (\pi + 2k\pi)/4 , k=0,1,2,3$
Spero di essere riuscito a spiegarmi
$w^4 = -16$ posto $w = \rho*(cos\theta + i sin \theta)$ l'espressione diventa
$(\rho(sin\theta + i sin \theta))^4 = -16$
Adesso portati anche il -16 nella stessa forma, ricordando che $|-16| = |-16 + i0| = sqrt((-16)^2 + (0)^2) = 16$ (anche perchè è reale)
Risultato
$-16 = 16((-16)/16 + (i0)/16) = 16(-1 + i0)$
adesso -1 e 0 ti indicano rispettivamente coseno e seno di $\theta$, ovvero $\theta = \pi$(ancora una volta ci si può arrivare considerando che -16 è nella parte di retta "negativa" reale)
$(\rho)^4(sin(4\theta) + i sin(4\theta)) = 16(cos(\pi+2k\pi) + i*sin(\pi+2k\pi))
adesso basta eguagliare modulo e argomento
$\rho^4 = 16$
$4\theta = \pi +2k\pi$
Che ti danno
$\rho = 2$
$\theta = (\pi + 2k\pi)/4 , k=0,1,2,3$
Spero di essere riuscito a spiegarmi
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