Dubbio sui numeri complessi

[Lebesgue]

Ciao a tutti, stavo affrontando il seguente esercizio: (intendo ovviamente \(\displaystyle z\in\mathbb{C} \))
Dimostrare che la serie \(\displaystyle \sum_{n\ge1} \frac{nz^n}{1-z^n}\) converge uniformemente su ogni palla chiusa \(\displaystyle |z|\le c, \ 0
Nella soluzione il professore ha scritto:
\(\displaystyle \sum_{n\ge1} |\frac{nz^n}{1-z^n}| \le \sum_{n\ge0} nc^n\), da cui segue la convergenza uniforme.
Ha quindi usato che per \(\displaystyle |z|\le c, \ 0 Tuttavia quest'ultima diseguaglianza non mi è affatto chiara, qualcuno potrebbe darmi una mano?

[Lucacs1]

disuguaglianza triangolare

[dissonance]

Questa disuguaglianza è falsa. Prova per \(n=1, z=\tfrac12\). (Mi riferisco a \(\lvert 1- z^n\rvert \ge 1\).)

[Lebesgue]

"dissonance":Questa disuguaglianza è falsa. Prova per \(n=1, z=\tfrac12\). (Mi riferisco a \(\lvert 1- z^n\rvert \ge 1\).)

Infatti non tornava neanche a me, proprio provando con $z=1/2$.
Io avevo ragionato così: per la triangolare inversa, $|1-z^n|\ge |1-|z|^n|$ da cui, essendo $|z|\le c<1$, posso togliere il modulo e considerare:
$1-|z|^n\ge 1-|z|\ge 1-c$, per cui ho che:
$\sum_{n\ge 0} |\frac{nz^n}{1-z^n}|\le \sum_{n\ge0}\frac{nc^n}{1-c}$, da cui la tesi poichè l'ultima serie converge