Dubbio sui limiti notevoli?

[faby941]

Ciao a tutti ragazzi, ho un dubbio sui limiti notevoli spero che mi potrete aiutare .

se io ho un qualsiasi limite $ lim x->0$ $ e^x $

posso dire che esiste un limite notevole che è $ ((e^x- 1) / x) =1 $ e quindi isolando $e^x$ viene $ e^x = x+1$ e riscrivo quel limite come $lim x->0 e^x = lim x->0 x+1$

in effetti poi fanno tutti e due $1$ , ma in alcuni casi questo "trucchetto" non mi torna, è sempre possibile farlo con tutti i limiti notevoli?

grazie mille per le risposte

[kobeilprofeta]

Ciao. Conosci il concetto di o-piccolo?

[faby941]

si è quella parte trascurabile giusto? c'è la parte asintotica e quello che resta è o-piccolo .. penso sia cosi

[kobeilprofeta]

Il fatto è questo: per $x to 0$, è sbagliato dire che $e^x-1=x$, perchè in realtà gli si avvicina, ma non è proprio uguale. Infatti dal concetto di limite si ha che prendendo una $x$ sempre piú vicina allo zero, $e^x-1$ sarà sempre piú vicino ad $x$. Si puó dimostrare che l'errore (cioè quanto $e^x-1$ sia distante da $x$ per $x to 0$) è trascurabile rispetto a $x$.
Quindi la tua formula è quasi giusta, manca un pezzo: $e^x=x+1+o(x)$, cioè devi specificare che c'è anche una quantitá molto piccola. Spesso questa è ininfluente, ma a volte puó fare la differenza. Se ci tieni ti posso riportare qualche esempio in cui fa (e non fa) la differenza.
Ciao. Spero di essere stato chiaro...

[faby941]

ah ok quindi ci vuole sempre l'o-piccolo in questi casi?
se mi fornissi qualche esempio sarebbe tutto più chiaro! grazie per la tua disponibilità

[kobeilprofeta]

Premessa: non prendere ció che ti sto dicendo come verità assoluta, io ti voglio solo dare un'idea, poi serve un professore che te le spieghi bene o comunque dovresti studiarle da solo.

Allora, non ci vuole sempre l'o-piccolo: a volte basta il concetto di asintotico. Puoi dire che $e^x-1$ è asintotico a $x$, oppure che è uguale a $x+o(x)$. L'asintotico va bene (in generale) per prodotti e potenze, ma non per somme, esponenziali, etc...
Intanto ti dico cos'è l'asintotico:

Si dice che una funzione $f(x)$ è asintotica ad un'altra $g(x)$ per $x to x_0$ se si verifica che $lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)}=1$. Nel nostro esempio abbiamo $lim_{x to x_0} frac{e^x-1}{x}=1$, dunque $e^x-1~x$, o anche $e^x~1+x$. Questo è un esempio, ma ce ne sono molti altri: basta pensare anche solo a tutti i limiti notevoli.

I problemi con gli asintotici nascono spesso quando $x to infty$. Nota che $lim_{x to +infty} x/(x-1)=1$, dunque $x~x-1$. Se ora volessi calcolare $lim_{x to +infty} x-(x-1)$ (che si presenta nella forma indeterminata inf-inf) non potrei usare l'asintotico: infatti finirei col ridurmi a calcolare $lim_{x to +infty} x-x=0$, quando in realtá il limite fa 1.
Puoi tranquillamente usare l'asintotico quando hai solo prodotti:

Esempio: $lim_{x to 0} frac{sin^2x}{2x^2}$. Ora notando che $sin x~x$, riscrivi come $lim_{x to 0} frac{x^2}{2x^2}=1/2$. questo limite in realtà avrei potuto farlo anche con gli o-piccoli o, piú semplicemente, con i limiti notevoli (dopo tutto asintotici e o-piccoli derivano proprio da questi)... Ma con limiti piú complicati, gli asintotici aiutano molto.
Limiti notevoli: $lim_{x to 0} sin x/x*sin x/x*1/2=1/2$.
O-piccoli: $lim_{x to 0} frac{x+o(x)}{x}*frac{x+o(x)}{x}*1/2$, qua conoscendo un po' di algebra degli o-piccoli, si conclude facilmente.

Concludendo, gli o-piccoli puoi usarli sempre (se ti fermi ad un grado basso peró potrebbe non bastare), ma spesso usando gli asintotici (quando puoi!) semplifichi parecchio i calcoli.
Ps:

Quelli che ti ho scritto io (ad esempio $e^x=1+x+o(x)$) si dicono sviluppi al primo ordine. Sono un po' piú precisi degli asintotici, ma a volte non bastano. Per questo si usano sviluppi di ordine successivi, che puoi trovare qua per esempio. Per capire come sono stati trovati servirebbe un discorso troppo lungo.

Ciao.