Dubbio sui limiti in due variabili
Non riesco a comprendere quali siano gli approcci per la risoluzione dei limiti in due variabili.
Vedo che si utilizzano spesso tre passaggi:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$
$\lim_{(x,y) \to (x,0)}f(x,y)$
$\lim_{(x,y) \to (0,y)}f(x,y)$
$\lim_{(x,y) \to (x,x)}f(x,y)$
se ottengo tre valori diversi il limite non esiste.
Ma vedo anche che alla variabile $y$ si sostituisce anche $y=mx$ e se il risultato del limite dipende da $m$ concludo come sopra.
[list=1][*:1uv9ix39]Sono questi 4 i passaggi da effettuare per il calcolo ?[/*:m:1uv9ix39]
[*:1uv9ix39]Nel caso però che valori dei limiti coincidessero in tutti e 4 i casi posso affermare che il valore del limite è proprio il valore trovato?[/*:m:1uv9ix39]
[*:1uv9ix39]Se dovessi calcolare $\lim_{(x,y) \to (2,3)}f(x,y)$ dovrei calcolare il limite per:
$(x,y) \to (x,3)$, $(x,y) \to (2,y)$, $(x,y) \to (x,x)$[/*:m:1uv9ix39][/list:o:1uv9ix39]
esempio:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(xy)/(x^2+y^2)$
è corretto questo sviluppo ?
$\lim_{(x,y) \to (x,0)}(xy)/(x^2+y^2)=(x 0)/(x^2+ 0)=(x 0)/x^2=$
Mi chiedo...ma se $x$ fosse zero avrei una forma indeterminata?! Devo far finta che $X$ sia un valore diverso da zero? Nel caso il risultato sarebbe zero.
Grazie infinite
Vedo che si utilizzano spesso tre passaggi:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$
$\lim_{(x,y) \to (x,0)}f(x,y)$
$\lim_{(x,y) \to (0,y)}f(x,y)$
$\lim_{(x,y) \to (x,x)}f(x,y)$
se ottengo tre valori diversi il limite non esiste.
Ma vedo anche che alla variabile $y$ si sostituisce anche $y=mx$ e se il risultato del limite dipende da $m$ concludo come sopra.
[list=1][*:1uv9ix39]Sono questi 4 i passaggi da effettuare per il calcolo ?[/*:m:1uv9ix39]
[*:1uv9ix39]Nel caso però che valori dei limiti coincidessero in tutti e 4 i casi posso affermare che il valore del limite è proprio il valore trovato?[/*:m:1uv9ix39]
[*:1uv9ix39]Se dovessi calcolare $\lim_{(x,y) \to (2,3)}f(x,y)$ dovrei calcolare il limite per:
$(x,y) \to (x,3)$, $(x,y) \to (2,y)$, $(x,y) \to (x,x)$[/*:m:1uv9ix39][/list:o:1uv9ix39]
esempio:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(xy)/(x^2+y^2)$
è corretto questo sviluppo ?
$\lim_{(x,y) \to (x,0)}(xy)/(x^2+y^2)=(x 0)/(x^2+ 0)=(x 0)/x^2=$
Mi chiedo...ma se $x$ fosse zero avrei una forma indeterminata?! Devo far finta che $X$ sia un valore diverso da zero? Nel caso il risultato sarebbe zero.
Grazie infinite
Risposte
Il punto è che a differenza di quanto avviene per funzioni in una variabile, dove basta controllare il limite in due direzioni, per funzioni di più variabili le funzioni sono infinite. Affinché il limite esista, deve avere lo stesso valore indipendentemente dalla curva lungo cui mi avvicino al punto.
Quindi un modo per approcciarsi al calcolo, nel momento in cui ho il sospetto che il limite possa non esistere, è quello di provare ad avvicinarmi lungo curve standard particolarmente comode: la bisettrice $y=x$, le rette parallele agli assi $y=0$ e $x=0$, o la generica retta $y=mx+q$. Se in particolare in quest'ultimo caso il risultato dipende dalla scelta di $m$ e di $q$ allora evidentemente il limite non esiste.
Ovviamente non posso controllare tutte le possibili curve, essendo queste infinite, quindi non posso dimostrare in questo modo che il limite esiste (anche se ne controllo $100$ e ottengo lo stesso risultato tutte le volte). Per fare questo si usano altri mezzi - essenzialmente, il teorema del confronto, i passaggi ad altri sistemi di coordinate, e gli sviluppi in serie.
Questa è una panoramica rapidissima della teoria operativa dei limiti in più variabili. Per inciso: in genere si ha sempre $(x,y)rarr(0,0)$, tanto se le variabili dovessero tendere ad un $(x_0,y_0)!=(0,0)$ ci si potrebbe ricondurre al caso precedente con una traslazione $X=x-x_0$ e $Y=y-y_0$.
Nel tuo esempio, prova a muoverti lungo $y=x$: ottieni \[\displaystyle f(x,y=x)=\frac{x^2}{(2x^2)}=\frac{1}{2} \] che è chiaramente diverso da \[\displaystyle f(x,y=x^2)=\frac{x^3}{x^2+x^4}\sim x\rightarrow 0 \]
Un altro modo di vedere che il limite non esiste è passare in coordinate polari: si ha \[\displaystyle f(\rho,\theta)=\frac{\rho^2\sin\theta\cos\theta}{\rho^2}=\sin\theta\cos\theta \] e quindi evidentemente il risultato del limite dipende dalla scelta di \(\displaystyle \theta\in[0,2\pi] \). Come vedi non c'è unico modo, bisogna fare un po' di pratica per riconoscere il metodo più rapido.
Quindi un modo per approcciarsi al calcolo, nel momento in cui ho il sospetto che il limite possa non esistere, è quello di provare ad avvicinarmi lungo curve standard particolarmente comode: la bisettrice $y=x$, le rette parallele agli assi $y=0$ e $x=0$, o la generica retta $y=mx+q$. Se in particolare in quest'ultimo caso il risultato dipende dalla scelta di $m$ e di $q$ allora evidentemente il limite non esiste.
Ovviamente non posso controllare tutte le possibili curve, essendo queste infinite, quindi non posso dimostrare in questo modo che il limite esiste (anche se ne controllo $100$ e ottengo lo stesso risultato tutte le volte). Per fare questo si usano altri mezzi - essenzialmente, il teorema del confronto, i passaggi ad altri sistemi di coordinate, e gli sviluppi in serie.
Questa è una panoramica rapidissima della teoria operativa dei limiti in più variabili. Per inciso: in genere si ha sempre $(x,y)rarr(0,0)$, tanto se le variabili dovessero tendere ad un $(x_0,y_0)!=(0,0)$ ci si potrebbe ricondurre al caso precedente con una traslazione $X=x-x_0$ e $Y=y-y_0$.
Nel tuo esempio, prova a muoverti lungo $y=x$: ottieni \[\displaystyle f(x,y=x)=\frac{x^2}{(2x^2)}=\frac{1}{2} \] che è chiaramente diverso da \[\displaystyle f(x,y=x^2)=\frac{x^3}{x^2+x^4}\sim x\rightarrow 0 \]
Un altro modo di vedere che il limite non esiste è passare in coordinate polari: si ha \[\displaystyle f(\rho,\theta)=\frac{\rho^2\sin\theta\cos\theta}{\rho^2}=\sin\theta\cos\theta \] e quindi evidentemente il risultato del limite dipende dalla scelta di \(\displaystyle \theta\in[0,2\pi] \). Come vedi non c'è unico modo, bisogna fare un po' di pratica per riconoscere il metodo più rapido.
Compreso benissimo, non potevi essere più chiaro di così.
Unico dubbio: nell'ultimo caso con le coordinate polari posso provare a prendere un valore arbitrario per $theta$ ? Mentre per $rho$ immagino debba essere $0$.
Unico dubbio: nell'ultimo caso con le coordinate polari posso provare a prendere un valore arbitrario per $theta$ ? Mentre per $rho$ immagino debba essere $0$.
Sì, \(\displaystyle \rho\rightarrow 0 \), mentre \(\displaystyle \theta \) vive in \(\displaystyle [0,2\pi] \) come detto prima, e quindi può essere uno qualsiasi dei valori di questo intervallo. Proprio questo è il motivo per cui il limite non esiste, perché dipende dalla scelta (arbitraria) dell'angolo.
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