Dubbio sui limiti

[dedalomelo]

In un limite di successione con n che tende a + infinito mi sono trovato con log^6(n)/n^5.
è possibile dire che quella quantità tende a 0 per gerarchia di infiniti? Potreste per favore spiegarmi anche la motivazione? so che tra logaritmo e potenza "vince" la potenza, ma in questo caso il logaritmo è elevato a una potenza e questo mi crea alcuni dubbi.

[ingres]

Se ti può aiutare nel dissipare i dubbi puoi sempre scrivere

$log^6(n)/n^5=(log(n)/n^(5/6))^6$

Dentro la parentesi hai un logaritmo diviso per una potenza positiva di n per cui ...

[dedalomelo]

Verissimo ora mi è chiaro, grazie!

[pilloeffe]

Ciao Dedalo88,

Più in generale, cosa che ti servirà anche per le serie numeriche, si parte dalla ben nota disuguaglianza $log(x) < x $, che vale $\AA x > 0 $. Posto dunque $x := n^a $, $\AA a > 0 $ si ha:

$ log(n^a) < n^a \iff log(n) < n^a/a $

Dato che si può scegliere qualsiasi valore di $a > 0$, nel caso del limite proposto nulla vieta di scegliere ad esempio $a = 1/3 = 2/6 $, sicché si ha:

$0 \le \lim_{n \to +\infty} log^6(n)/n^5 = \lim_{n \to +\infty} [log(n)/n^(5/6)]^6 < \lim_{n \to +\infty} [(n^{2/6})/(1/3 n^{5/6})]^6 = 3^6 \cdot \lim_{n \to +\infty} 1/n^3 = 0 $

Dunque, come ti è già chiaro, si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} log^6(n)/n^5 = 0 $