Dubbio Successioni Positive

[devt]

Ciao a tutti,
Avrei un dubbio su questo esercizio, sono un po' in stallo nel senso che se provo a dimostrarla trovo la forma d'indecisione $0 * \oo$ il che, probabilmente, mi suggerisce che non possa essere verificata, ma allo stesso tempo non riesco a trovare un controesempio.

L'esercizio chiede di dimostrarla se vera o trovare un controesempio se falsa:

$a_n = o(nlnn) => a_n = O(n)$

Qualche suggerimento?

Grazie.

[Sk_Anonymous]

Puoi riportare le definizioni di little-o e big-O che usi? La terminologia non è univoca.

[dissonance]

Fermo restando che Delirium ha ragione e che dovresti riportare le definizioni, immagino si intenda che \(n\to \infty\). La condizione \(a_n=o(n\log n)\) significa, grosso modo, che \(a_n\) è asintoticamente più piccola di \(n\log n\). La condizione \(a_n=O(n)\) significa, grosso modo, che \(a_n\) è asintoticamente dello stesso ordine di \(n\), o più piccola. Ora aspettiamo le tue definizioni per scrivere per bene queste idee intuitive.

In ogni caso qualcosa già si può dire. Se una cosa è più piccola di \(n\log n\), secondo te, deve per forza essere dell'ordine di \(n\)? O c'è qualcosa di intermedio tra i due ordini di grandezza?

[devt]

"Delirium":Puoi riportare le definizioni di little-o e big-O che usi? La terminologia non è univoca.

Scusa, non sapevo non fossero standardizzate.
Per Little-o uso: $a_n = o(b_n) <=> lim_(n->oo) a_n/b_n = 0$

Mentre per Big-O ho due "strade",

se $EE L $ per $n->oo $ di $a_n/b_n = L$ allora $a_n = O(b_n) <=> L < +oo$[/list:u:ochko92z]

altrimenti, $a_n = O(b_n) <=> EE c > 0 : |a_n| < c|b_n|$ definitivamente[/list:u:ochko92z]



"dissonance":Se una cosa è più piccola di \( n\log n \), secondo te, deve per forza essere dell'ordine di \( n \)? O c'è qualcosa di intermedio tra i due ordini di grandezza?


Io ho pensato che per essere $a_n$ un little-o di $nlnn$ allora il rapporto tra $a_n/(nlnn)$ deve fare $0$ cioè vincere $nlnn$ mentre per essere un big-o di $n$ deve vincere $a_n$ per fare andare il tutto a $+oo$...

[dissonance]

"tatoalo":

Mentre per Big-O ho due "strade",

se $EE L $ per $n->oo $ di $a_n/b_n = L$ allora $a_n = O(b_n) <=> L < +oo$[/list:u:1z8jym0v]

altrimenti, $a_n = O(b_n) <=> EE c > 0 : |a_n| < c|b_n|$ definitivamente[/list:u:1z8jym0v]

Ti basta scrivere la seconda, che include la prima nel caso in cui il limite esista.

"dissonance":Se una cosa è più piccola di \( n\log n \), secondo te, deve per forza essere dell'ordine di \( n \)? O c'è qualcosa di intermedio tra i due ordini di grandezza?

Io ho pensato che per essere $a_n$ un little-o di $nlnn$ allora il rapporto tra $a_n/(nlnn)$ deve fare $0$ cioè vincere $nlnn$ mentre per essere un big-o di $n$ deve vincere $a_n$ per fare andare il tutto a $+oo$...

Questo non significa niente. Cerca di costruirti qualche esempio esplicito, invece di andare di pura fantasia come stai facendo. Ragiona, ad esempio, sulle successioni \(n\log(\log n)\), \(n\sqrt{|\log n|}\), etc...