Dubbio successioni
come si fa a passare da 1+4+9+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6
sapendo che la succcessione equivale alla sommatoria per i che va da 1 ad n della funzione i^2.
quale formula si è applicato (+ i passaggi) per arrivare a tale risultato?
grazie
sapendo che la succcessione equivale alla sommatoria per i che va da 1 ad n della funzione i^2.
quale formula si è applicato (+ i passaggi) per arrivare a tale risultato?
grazie
Risposte
Non so se ti può essere d'aiuto, però magari dai un'occhiata qui http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html
per problemi di rete al momento posso accedere solo al dominio .it, quindi non so se il link indicato da Benny riporti la soluzione.
Per calcolare la somma, ricorda che $(i+1)^3=i^3+3i^2+3i+1$. Sommando lhs e rhs da 1 a N (per brevità il simbolo $\Sigma$ significa qui $\Sigma_{i=1}^N$) si ottiene $\Sigma(i+1)^3=\Sigmai^3+3\Sigmai^2+3\Sigmai+\Sigma1$. È evidente che $\Sigma(i+1)^3-\Sigmai^3=(N+1)^3-1$ (tutti i termini si elidono, tranne l'ultimo del primo addendo ed il primo del secondo), mentre è noto che $\Sigmai=\frac{N(N+1)}{2}$, ed è ovvio che $\Sigma1=N$. Quindi $\Sigmai^2=\frac{1}{3}[(N+1)^3-1-\frac{N(N+1)}{2}-N]$. Sviluppando quest'ultima relazione e fattorizzando il risultato ottieni la tua formula.
Con questo metodo, note le somme $\Sigmai^k$, $k=1, ..., m$, puoi calcolare $\Sigmai^(m+1)$ partendo dallo sviluppo di $(i+1)^(m+2)$. L'inconveniente è che occorre sempre sviluppare i risultati intermedi e poi fattorizzare; non so se esista un metodo che fornisca direttamente il risultato in forma fattorizzata.
Per calcolare la somma, ricorda che $(i+1)^3=i^3+3i^2+3i+1$. Sommando lhs e rhs da 1 a N (per brevità il simbolo $\Sigma$ significa qui $\Sigma_{i=1}^N$) si ottiene $\Sigma(i+1)^3=\Sigmai^3+3\Sigmai^2+3\Sigmai+\Sigma1$. È evidente che $\Sigma(i+1)^3-\Sigmai^3=(N+1)^3-1$ (tutti i termini si elidono, tranne l'ultimo del primo addendo ed il primo del secondo), mentre è noto che $\Sigmai=\frac{N(N+1)}{2}$, ed è ovvio che $\Sigma1=N$. Quindi $\Sigmai^2=\frac{1}{3}[(N+1)^3-1-\frac{N(N+1)}{2}-N]$. Sviluppando quest'ultima relazione e fattorizzando il risultato ottieni la tua formula.
Con questo metodo, note le somme $\Sigmai^k$, $k=1, ..., m$, puoi calcolare $\Sigmai^(m+1)$ partendo dallo sviluppo di $(i+1)^(m+2)$. L'inconveniente è che occorre sempre sviluppare i risultati intermedi e poi fattorizzare; non so se esista un metodo che fornisca direttamente il risultato in forma fattorizzata.
Potresti provare a dimostrarlo per induzione
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