Dubbio successione estratta
Ciao a tutti!! Sono nuovo in questo forum e volevo chiedervi una cosa che ancora non sono riuscito a capire...
C'è un teorema che dice che "Il limite di una sottosuccessione estratta è uguale al limite della successione stessa", e fin qui mi trovo.. Ma nella dimostrazione c'è scritto che basta dimostrare che
$ AA k>0 $ $n(k)geqk $
per poter dimostrare il teorema... Ma perchè basta dimostrare questo?? e poi come si dimostra?
vi prego non riesco a trovare una risposta!!
Grazie in anticipo!!
C'è un teorema che dice che "Il limite di una sottosuccessione estratta è uguale al limite della successione stessa", e fin qui mi trovo.. Ma nella dimostrazione c'è scritto che basta dimostrare che
$ AA k>0 $ $n(k)geqk $
per poter dimostrare il teorema... Ma perchè basta dimostrare questo?? e poi come si dimostra?
vi prego non riesco a trovare una risposta!!Grazie in anticipo!!
Risposte
"Fabio92":
...C'è un teorema che dice che "Il limite di una sottosuccessione estratta è uguale al limite della successione stessa", e fin qui mi trovo...
Io non mi trovo!
Devi supporre che la successione converga!Ad esempio: tale teorema, per come lo hai citato, è lampantemente falso per la successione [tex]$\{(-1)^nn\in\mathbb{R}\}_{n\in\mathbb{N}_0}$[/tex], tale successione non ha limite, inoltre, esistono successioni estratte divergenti a [tex]$+\infty$[/tex] ed a [tex]$-\infty$[/tex].
Per dimostrare correttamente il teorema dovresti dimostrare che:
I) la successione estratta converge, ad esempio con la condizione di Cauchy;
II) converge allo stesso limite della successione data, ad esempio lo puoi dimostrare per assurdo!
Quel passaggio che tu citi non l'ho capito!
@Armando: Tutto giusto, solo sulla tecnica dimostrativa io trovo che tu ti complichi inutilmente la vita. Secondo me è una semplice riscrittura della definizione di limite.
Si ma io sul Canuto-Tabacco (dai file su internet che non so se posso linkare..) leggo ke da ogni successione esiste una sottosuccessione il cui limite è uguale.. :S
Certo che puoi indicarli! Anzi, lo faccio io: link!
Non hai letto bene l'enunziato della proposizione C.5.2, poi inizia la dimostrazione con una considerazione che dimostra.
Non hai letto bene l'enunziato della proposizione C.5.2, poi inizia la dimostrazione con una considerazione che dimostra.
"j18eos":
Certo che puoi indicarli! Anzi, lo faccio io: link!
Non hai letto bene l'enunziato della proposizione C.5.2, poi inizia la dimostrazione con una considerazione che dimostra.
Io è proprio la considerazione ke non ho capito!! cioè perchè $n(k)>=k$ ??
"Fabio92":
[quote="j18eos"]Certo che puoi indicarli! Anzi, lo faccio io: link!
Non hai letto bene l'enunziato della proposizione C.5.2, poi inizia la dimostrazione con una considerazione che dimostra.
Io è proprio la considerazione ke non ho capito!! cioè perchè $n(k)>=k$ ??[/quote]
Scusate, mi intrometto
come ti diceva j18eos la considerazione di cui parli viene dimostrata. Quindi c'è qualcosa nella dimostrazione che non hai capito? Se si, quale passaggio di preciso?
Banalmente $n(0) >= 0;
supponiamo ora che $n(k) >= k$ e osserviamo che, poichè la successione è strettamente crescente, si ha $n(k+1) > n(k)$ il che implica $n(k+1) >= (k + 1)$.
Non ho capito la parte in rosso...
(penso sia facile ma non riesco a trovare una spiegazione.. )
supponiamo ora che $n(k) >= k$ e osserviamo che, poichè la successione è strettamente crescente, si ha $n(k+1) > n(k)$ il che implica $n(k+1) >= (k + 1)$.
Non ho capito la parte in rosso...
(penso sia facile ma non riesco a trovare una spiegazione.. )
credo che il teorema cui fai riferimento sia più che altro un lemma conseguente la successione di Cauchy!!!
la definizione di successione estratta è questa: sia $a_n in RR$ e sia $n_k in NN$ strettamente crescente. Allora: $AA k in NN-> a_n_k$ è definita successione estratta da $a_n$. Naturalmente perchè $n_k$ sia strettamente crescente deve verificarsi che: $n_k>=k$ $AA k in NN$ e questo puoi dimostrarlo per induzione.
Riguardo al lemma devi semplicemente supporre di avere una successione estratta convergente e tramite la disuguaglianza triangolare dimostri che in effetti la successione di partenza è convergente allo stesso limite!!
la definizione di successione estratta è questa: sia $a_n in RR$ e sia $n_k in NN$ strettamente crescente. Allora: $AA k in NN-> a_n_k$ è definita successione estratta da $a_n$. Naturalmente perchè $n_k$ sia strettamente crescente deve verificarsi che: $n_k>=k$ $AA k in NN$ e questo puoi dimostrarlo per induzione.
Riguardo al lemma devi semplicemente supporre di avere una successione estratta convergente e tramite la disuguaglianza triangolare dimostri che in effetti la successione di partenza è convergente allo stesso limite!!
Scusate se mi intrometto anch'io 
Riporto il caso che ci interessa:
Spezzo ora la dimostrazione per renderla (si spera) più chiara:
$n_0\ge0$: il passo base è verificato perchè gli indici sono numeri naturali e in quanto tali, sono non negativi.
Passo induttivo: supponiamo ora che $n_k \ge k$
Passo conclusivo: "poichè la successione è strettamente crescente, si
ha $n_{k+1}> n_k$ il che implica $n_{k+1} \ge k + 1$, da cui l'asserto".
Questo è il caso più delicato:
Da $n_{k+1}> n_k$ segue che la differenza $n_{k+1}- n_k>0$ e poichè stiamo lavorando con numeri naturali, possiamo scrivere questo fatto anche in questo modo:
$n_{k+1}-n_k\ge 1$ pe cui si ha che $n_{k+1}\ge n_k +1$ e sfruttando l'ipotesi induttiva, $n_k \ge k$, otterremo finalmente:
$n_{k+1}\ge n_k +1\ge k+1$ e di conseguenza $n_{k+1}\ge k+1$. Spero di essere stato chiaro
Riporto il caso che ci interessa:
Osserviamo innanzitutto che vale la proprieta
$n_k\gek ; \forall k\ge0 ; $ (C.5.1)
come si vede facilmente per induzione. Infatti, banalmente $n_0\ge0$; supponiamo ora che $n_k \ge k$ e osserviamo che, poichè la successione è strettamente crescente, si
ha $n_{k+1}> n_k$ il che implica $n_{k+1} \ge k + 1$, da cui l'asserto.
Spezzo ora la dimostrazione per renderla (si spera) più chiara:
$n_0\ge0$: il passo base è verificato perchè gli indici sono numeri naturali e in quanto tali, sono non negativi.
Passo induttivo: supponiamo ora che $n_k \ge k$
Passo conclusivo: "poichè la successione è strettamente crescente, si
ha $n_{k+1}> n_k$ il che implica $n_{k+1} \ge k + 1$, da cui l'asserto".
Questo è il caso più delicato:
Da $n_{k+1}> n_k$ segue che la differenza $n_{k+1}- n_k>0$ e poichè stiamo lavorando con numeri naturali, possiamo scrivere questo fatto anche in questo modo:
$n_{k+1}-n_k\ge 1$ pe cui si ha che $n_{k+1}\ge n_k +1$ e sfruttando l'ipotesi induttiva, $n_k \ge k$, otterremo finalmente:
$n_{k+1}\ge n_k +1\ge k+1$ e di conseguenza $n_{k+1}\ge k+1$. Spero di essere stato chiaro
Ora ho capito!! Praticamente possiamo "sostituire" $>0$ con $>=1$ perchè stiamo nei numeri naturali.. perfetto!! Era questo elemento che mi mancava!!
Grazie mille a tutti per le risposte e grazie particolarmente a Mathematico x la spiegazione!!
Grazie mille a tutti per le risposte e grazie particolarmente a Mathematico x la spiegazione!!
Prego, comunque non so per quale motivo mi sono complicato così tanto la vita nel mio messaggio precedente
Era più facile osservare che da $n_{k+1}>n_k$ segue direttamente che $n_{k+1}\ge n_k +1$ perché giochiamo con i numeri naturali... Bah, il mio cervello fa cose strane a volte. Lieto di averti aiutato
Era più facile osservare che da $n_{k+1}>n_k$ segue direttamente che $n_{k+1}\ge n_k +1$ perché giochiamo con i numeri naturali... Bah, il mio cervello fa cose strane a volte
. Lieto di averti aiutato
Prego, di nulla!
Per le prossime volte, per dare una mano a te ed a chi te la tende: sii più preciso nello specificare il dubbio, oltre a leggere per bene il testo.
OUT OF SELF @dissonance:
Caro G. dissonance,
come matematico ho, tra i vari difetti, la capacità di capire l'analisi matematica solo mediante la topologia; ecco perché ho dato, con cognizione, delle indicazioni tecniche pesanti. E che vuoi fare.
Buone cose a tutti!
Per le prossime volte, per dare una mano a te ed a chi te la tende: sii più preciso nello specificare il dubbio, oltre a leggere per bene il testo.
OUT OF SELF @dissonance:
Caro G. dissonance,
come matematico ho, tra i vari difetti, la capacità di capire l'analisi matematica solo mediante la topologia; ecco perché ho dato, con cognizione, delle indicazioni tecniche pesanti. E che vuoi fare.
Buone cose a tutti!
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