Dubbio successione di funzione
Allora ragazzi ho dei dubbi sulle successioni di funzioni, quando bisogna calcolare la convergenza uniforme....allora, data ad esempio questa successione:
$ fn(x)= n e^-(nx)sen(nx) $
sono andato per gradi, in questo modo: converge puntualmente, e converge a 0 solo se x>0
$ f(x)=0 $
allora ho:
$ |n e^-(nx)sen(nx) - 0| $
poi ho fatto la derivata prima della funzione rispetto ad x
$ f'n(x)= -n^3 e^(-nx) cos(nx) $
e ho posto $ f'n(x)>=0 $ per vedere in che intervalli la derivata e crescente o decrescente, e come risultati avevo:
$ -n^3/e^(nx) >=0 ---> MAI $
$ cos(nx)>=0 ---> -π/(2n)<=x<=π /(2n) $
quindi la funzione è decrescente tra $ 0<=x<=π /(2n) $ e crescente tra $ x>π /(2n) $
ora, detto questo, è chiaro che la funzione non è limitata, quindi non può convergere uniformemente per x>0, allora ho ristretto l'intervallo a $ [0;π /(2n)] $
in questo intervallo il massimo, che in questo caso sarebbe anche il sup, si ha per x=0...andando a sostituire questo valore nlla funzione iniziale, si vede che converge a 0, e quindi ho concluso dicendo che la funzione converge uniformemente se la x è compresa tra $ [0;π /(2n)] $
ora...c'è qualcosa di sbagliato in tutto questo??
grazie in anticipo
$ fn(x)= n e^-(nx)sen(nx) $
sono andato per gradi, in questo modo: converge puntualmente, e converge a 0 solo se x>0
$ f(x)=0 $
allora ho:
$ |n e^-(nx)sen(nx) - 0| $
poi ho fatto la derivata prima della funzione rispetto ad x
$ f'n(x)= -n^3 e^(-nx) cos(nx) $
e ho posto $ f'n(x)>=0 $ per vedere in che intervalli la derivata e crescente o decrescente, e come risultati avevo:
$ -n^3/e^(nx) >=0 ---> MAI $
$ cos(nx)>=0 ---> -π/(2n)<=x<=π /(2n) $
quindi la funzione è decrescente tra $ 0<=x<=π /(2n) $ e crescente tra $ x>π /(2n) $
ora, detto questo, è chiaro che la funzione non è limitata, quindi non può convergere uniformemente per x>0, allora ho ristretto l'intervallo a $ [0;π /(2n)] $
in questo intervallo il massimo, che in questo caso sarebbe anche il sup, si ha per x=0...andando a sostituire questo valore nlla funzione iniziale, si vede che converge a 0, e quindi ho concluso dicendo che la funzione converge uniformemente se la x è compresa tra $ [0;π /(2n)] $
ora...c'è qualcosa di sbagliato in tutto questo??
grazie in anticipo
Risposte
probabilmente ho sbagliato la derivata, ma il modo di procedere vi sembra adatto? soprattutto quando restringo l'intervallo...
dai ragazzi...mi servirebbe una mano, altrimenti non capirò mai, mi interessa sapere soprattutto se opero nel modo giusto, cioè convergenza puntuale ---> derivata con la quale studio l'andamento della funzione ---> se la funzione non è limitata restringo ad un intervallo dove posso definire il sup ---> se sostituendo il sup il limite ad n viene 0 allora converge uniformemente in quell'intervallo
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