Dubbio su uniforme continuità
Ciao a tutti!...vi chiedo un aiuto su una cosa che continuo a non capire anche se sicuramente è banale:
le funzioni che hanno una crescita più che linare non sono uniformemente continue, ovvero se $f(x)simc*x^alpha$ con $c!=0$ e $alpha>1$ $f$ non è uniformemente continua; però la funzione $f(x)=x^2$ mi risulta uniformemente continua in un intervallo...
le funzioni che hanno una crescita più che linare non sono uniformemente continue, ovvero se $f(x)simc*x^alpha$ con $c!=0$ e $alpha>1$ $f$ non è uniformemente continua; però la funzione $f(x)=x^2$ mi risulta uniformemente continua in un intervallo...
Risposte
"rikytoro":
Ciao a tutti!...vi chiedo un aiuto su una cosa che continuo a non capire anche se sicuramente è banale:
le funzioni che hanno una crescita più che linare non sono uniformemente continue, ovvero se $f(x)simc*x^alpha$ con $c!=0$ e $alpha>1$ $f$ non è uniformemente continua
In tutto $RR$ no.
"rikytoro":
però la funzione $f(x)=x^2$ mi risulta uniformemente continua in un intervallo...
Conseguenza del teorema di Cantor (ogni applicazione continua in un compatto è uniformemente continua).
ok...capito...grazie!
Per darti un'informazione più completa possiamo citare il "teorema della farfalla" (ma si chiama così? mi pare di averlo letto così da qualche parte).
Data una funzione uniformemente continua in $[0,+oo)$, allora esistono $c_1,c_2 in RR$ tali che: $f(x)<=c_1 x +c_2$.
Immediato corollario è:
Data una funzione uniformemente continua in $RR$, allora esistono $c_1,c_2 in RR$ tali che: $|f(x)|<=c_1 |x| +c_2$.
Prova a dimostrare il primo (devi fare un po' di manipolazioni sfruttando la definizione di di uniforme continuità, un po' brutto perchè non sai dove vai a parare facendo la dimostrazione) e il corollario.
Corollario è quanto tu dici. Ma se dimostri il teorema che citavo capirai perchè è importante l'ipotesi sul dominio.
P.S. perchè si chiama "della farfalla"?
perchè hai che $-(c_1 |x| +c_2)<=f(x)<=c_1 |x| + c_2$ cioè la $f$ può "vivere" solo all'interno della farfalla (disegnalo!)
Data una funzione uniformemente continua in $[0,+oo)$, allora esistono $c_1,c_2 in RR$ tali che: $f(x)<=c_1 x +c_2$.
Immediato corollario è:
Data una funzione uniformemente continua in $RR$, allora esistono $c_1,c_2 in RR$ tali che: $|f(x)|<=c_1 |x| +c_2$.
Prova a dimostrare il primo (devi fare un po' di manipolazioni sfruttando la definizione di di uniforme continuità, un po' brutto perchè non sai dove vai a parare facendo la dimostrazione) e il corollario.
Corollario è quanto tu dici. Ma se dimostri il teorema che citavo capirai perchè è importante l'ipotesi sul dominio.
P.S. perchè si chiama "della farfalla"?
perchè hai che $-(c_1 |x| +c_2)<=f(x)<=c_1 |x| + c_2$ cioè la $f$ può "vivere" solo all'interno della farfalla (disegnalo!)
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