Dubbio su una serie
Ciao!
Ho un dubbio sulla convergenza di una serie:
$ sum_(n = 0)^(oo ) 2n/(n^2+3) $
per logica direi che diverge, perché a tentoni, il termine con n=n+1 è sempre piu grande della serie $ 1/n $ che diverge.
Ma c'è un altro metodo meno fantasioso per dedurlo? Non vorrei dover pensare di nuovo al nostro prof di analisi che ci dice "Mah, ragazzi, talvolta bisogna provare a tentoni.. in fondo della matematica poco o nulla conosciamo" ... gran saggezza, ma talvolta scoraggia XD
Ho un dubbio sulla convergenza di una serie:
$ sum_(n = 0)^(oo ) 2n/(n^2+3) $
per logica direi che diverge, perché a tentoni, il termine con n=n+1 è sempre piu grande della serie $ 1/n $ che diverge.
Ma c'è un altro metodo meno fantasioso per dedurlo? Non vorrei dover pensare di nuovo al nostro prof di analisi che ci dice "Mah, ragazzi, talvolta bisogna provare a tentoni.. in fondo della matematica poco o nulla conosciamo" ... gran saggezza, ma talvolta scoraggia XD
Risposte
Tentoni-tentoni... Ma se hai risolto nella maniera più corretta possibile! 
(Anzi, difatti hai [tex]$2\frac{n}{n^2+3} >\frac{1}{n}$[/tex] per [tex]$n\geq 2$[/tex]... Non c'è bisogno del [tex]$+1$[/tex] nell'indice.)
Un altro modo di dire che la serie diverge è per confronto asintotico: infatti la successione degli addendi è confrontabile con la successione degli addendi della serie armonica, che diverge.
(Anzi, difatti hai [tex]$2\frac{n}{n^2+3} >\frac{1}{n}$[/tex] per [tex]$n\geq 2$[/tex]... Non c'è bisogno del [tex]$+1$[/tex] nell'indice.)
Un altro modo di dire che la serie diverge è per confronto asintotico: infatti la successione degli addendi è confrontabile con la successione degli addendi della serie armonica, che diverge.
$ sum_(n = 0)^(oo) 2n/(n^2+3) = (n(2))/(n(n+3))= 2/(n+3) $ che per confronto è uguale a $ 1/n $ che diverge
inoltre, l'intervallo di convergenza della serie
$ sum_(n = 0)^(oo) 2n/(n^2+3) (x^2+5)^n $
mi viene qualcosa tipo $Ix=[-2, sqrt(6))$ è possibile? Come potete notare An della serie è lo stesso di quella del primo post, trovando la convergenza di $t=x^2+5$ mi veniva $It=[-1, 1)$ e con la sostituzione quel rsultato. Però non son sicuro della sostituzione. Confermate?
$ sum_(n = 0)^(oo) 2n/(n^2+3) (x^2+5)^n $
mi viene qualcosa tipo $Ix=[-2, sqrt(6))$ è possibile? Come potete notare An della serie è lo stesso di quella del primo post, trovando la convergenza di $t=x^2+5$ mi veniva $It=[-1, 1)$ e con la sostituzione quel rsultato. Però non son sicuro della sostituzione. Confermate?
facendo il criterio della radice ottieni $ |x^2+5 |<1 $ che e' falsa $AA$ $x$
"legendre":
facendo il criterio della radice ottieni $ |x^2+5 |<1 $ che e' falsa $AA$ $x$
è vero! come ho fatto a non notarlo... ero di fretta forse.. viene sempre una radice negativa... dunque non converge mai... strano però.. dunque il raggio sarebbe 0 ..
Nono, l'insieme di convergenza è vuoto.
Occhio che quella non è una serie di potenze, quindi questa eventualità è da tenere presente (perchè è possibile).
Occhio che quella non è una serie di potenze, quindi questa eventualità è da tenere presente (perchè è possibile).
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