Dubbio su una funzione da studiare
Salve,
Ho fatto lo studio della funzione [tex]$f(x)=2x+\sqrt[3] {x^2}$[/tex] e vorrei sapere se sbaglio qualcosa a livello di ragionamento. Dunque:
La funzione è definita e continua su tutto $RR$ (nonostante Derive la consideri solo su valori non negativi, mah) e derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Presenta infatti in $x=0$ una cuspide.
La funzione quindi è decrescente su [tex]]-\infty, 0[[/tex] e crescente su [tex]]0, +\infty[[/tex]. Dunque $x=0$ è punto di minimo assoluto.
Dallo studio della derivata seconda, ovvero [tex]$f''(x)=-\frac{2}{9\sqrt[3] {x^4}}[/tex] la funzione è concava sia su [tex]]-\infty, 0[[/tex] che su [tex]]0, +\infty[[/tex].
Dalla condizione sufficiente per la Lipschitzianetà risulta che la funzione non è Lipschitziana. Essendo continua su $RR$ è uniformemente continua su ogni intervallo chiuso e limitato appartenente alla retta reale (Heine-Cantor).
Ora, per quanto riguarda il grafico ho un dubbio: quando vado a calcolare i coeficienti per l'equazione dell'eventuale asintoto obliquo e , chiamando $y=mx+q$ tale retta, scopro che $\exists$ finito $m\ne 0$ ma $q$ non è finito (ma esiste), devo considerare come asintoto $y=2x$ ?
Ho fatto lo studio della funzione [tex]$f(x)=2x+\sqrt[3] {x^2}$[/tex] e vorrei sapere se sbaglio qualcosa a livello di ragionamento. Dunque:
La funzione è definita e continua su tutto $RR$ (nonostante Derive la consideri solo su valori non negativi, mah) e derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Presenta infatti in $x=0$ una cuspide.
La funzione quindi è decrescente su [tex]]-\infty, 0[[/tex] e crescente su [tex]]0, +\infty[[/tex]. Dunque $x=0$ è punto di minimo assoluto.
Dallo studio della derivata seconda, ovvero [tex]$f''(x)=-\frac{2}{9\sqrt[3] {x^4}}[/tex] la funzione è concava sia su [tex]]-\infty, 0[[/tex] che su [tex]]0, +\infty[[/tex].
Dalla condizione sufficiente per la Lipschitzianetà risulta che la funzione non è Lipschitziana. Essendo continua su $RR$ è uniformemente continua su ogni intervallo chiuso e limitato appartenente alla retta reale (Heine-Cantor).
Ora, per quanto riguarda il grafico ho un dubbio: quando vado a calcolare i coeficienti per l'equazione dell'eventuale asintoto obliquo e , chiamando $y=mx+q$ tale retta, scopro che $\exists$ finito $m\ne 0$ ma $q$ non è finito (ma esiste), devo considerare come asintoto $y=2x$ ?
Risposte
"Orlok":No, non ha asintoti. E lo vedi proprio perché la "condizione su q" non è soddisfatta.
Ora, per quanto riguarda il grafico ho un dubbio: quando vado a calcolare i coeficienti per l'equazione dell'eventuale asintoto obliquo e , chiamando $y=mx+q$ tale retta, scopro che $\exists$ finito $m\ne 0$ ma $q$ non è finito (ma esiste), devo considerare come asintoto $y=2x$ ?
Questa condizione è importante: basta pensare a [tex]$f(x) = \sqrt[3] {x^2}$[/tex]. Mica ha un asintoto orizzontale!
Ergo, [tex]$f(x)=2x+\sqrt[3] {x^2}$[/tex] non ha asintoti obliqui.
Però per disegnare il grafico posso fare la seguente osservazione?
"Nell'intorno dello zero prevale come infinitesimo [tex]\sqrt[3] {x^2}[/tex], infatti abbiamo appunto la cuspide. Mentre man mano che $x$ diventa sempre più grande, quindi man mano che tende all'infinito, prevale $2x$ (che rappresenta in tal caso un infinito di ordine superiore ad $x^{2/3}$) e quindi il grafico assomiglia di più a una retta."
Oppure è fuori luogo?
"Nell'intorno dello zero prevale come infinitesimo [tex]\sqrt[3] {x^2}[/tex], infatti abbiamo appunto la cuspide. Mentre man mano che $x$ diventa sempre più grande, quindi man mano che tende all'infinito, prevale $2x$ (che rappresenta in tal caso un infinito di ordine superiore ad $x^{2/3}$) e quindi il grafico assomiglia di più a una retta."
Oppure è fuori luogo?
"Orlok":Direi che è "fuori luogo". O, per lo meno, è discutibile.
Però per disegnare il grafico posso fare la seguente osservazione?
"Nell'intorno dello zero prevale come infinitesimo [tex]\sqrt[3] {x^2}[/tex], infatti abbiamo appunto la cuspide. Mentre man mano che $x$ diventa sempre più grande, quindi man mano che tende all'infinito, prevale $2x$ (che rappresenta in tal caso un infinito di ordine superiore ad $x^{2/3}$) e quindi il grafico assomiglia di più a una retta."
Oppure è fuori luogo?
Quanto segue è un ragionamento "intuitivo", che richiederebbe poi una formalizzaizone e precisazioni adeguate. Spero che sia comunque comprensibile.
Cosa vuol dire che una funzione, all'infinito, si comporta come una retta?
- che $\frac{f(x) - (mx+q)}{mx+q}$ "tende a 0"
- che la differenza tra $f(x)$ e $mx+q$ "tende a 0"
La seconda nozione è quella classica di asintoto e certamente si può dire che la $f$ "assomiglia ad una retta".
La prima condizione (quella soddisfatta nel tuo esercizio) mi sembra troppo debole per dire che il grafico "assomiglia ad una retta". Tieni presente che vale, ad esempio, per [tex]\sqrt{x}[/tex] (usando come retta l'asse delle x)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo