Dubbio su una forma differenziale
Salve,
Stavo svolgendo la seguente forma differenziale:
Si studi la forma differenziale:
$ (1/y+1/(x(x-2))) dx+((y-x)/y^2)dy $
e, se possibile, si calcoli la primitiva nulla in (1, 1).
Ecco, innanzitutto ho calcolato il dominio che mi viene ponendo y>0 ed x(x-2)>0 e risulta semplicemente connesso.
Dopodichè ho calcolato le derivate parziali entrambe uguali a $-1/(y^2)$ dunque si tratta di una forma chiusa e dunque esatta e posso calcolarne la primitiva. Dopo tutta la serie di calcoli ottengo:
$ f(x,y)=x/y-lnx/2+ln(x-2)/2+lny+c $. Fin qui credo non dovrebbero esserci problemi.
Il problema nasce nella seconda domanda, quando sostituendo (1,1) nella primitiva mi esce come vedete un log nullo. Dunque presumo che non sia possibile calcolare questa primitiva in quel dominio, è corretto?
Vi ringrazio tanto!!
Stavo svolgendo la seguente forma differenziale:
Si studi la forma differenziale:
$ (1/y+1/(x(x-2))) dx+((y-x)/y^2)dy $
e, se possibile, si calcoli la primitiva nulla in (1, 1).
Ecco, innanzitutto ho calcolato il dominio che mi viene ponendo y>0 ed x(x-2)>0 e risulta semplicemente connesso.
Dopodichè ho calcolato le derivate parziali entrambe uguali a $-1/(y^2)$ dunque si tratta di una forma chiusa e dunque esatta e posso calcolarne la primitiva. Dopo tutta la serie di calcoli ottengo:
$ f(x,y)=x/y-lnx/2+ln(x-2)/2+lny+c $. Fin qui credo non dovrebbero esserci problemi.
Il problema nasce nella seconda domanda, quando sostituendo (1,1) nella primitiva mi esce come vedete un log nullo. Dunque presumo che non sia possibile calcolare questa primitiva in quel dominio, è corretto?
Vi ringrazio tanto!!
Risposte
Il dominio non è quello che indichi.
"gugo82":
Il dominio non è quello che indichi.
Scusa e come sarebbe? Mi stanno venendo tanti dubbi
La 1-forma che devi studiare è del tipo $\omega = f(x,y)dx+g(x,y)dy$, dove sia $f$ che $g$ sono funzioni razionali (quozienti di polinomi). Una funzione razionale ha per dominio il complementare dell'insieme degli zeri del denominatore (perché dividere per zero fa piangere Gesù).
"killing_buddha":
La 1-forma che devi studiare è del tipo $\omega = f(x,y)dx+g(x,y)dy$, dove sia $f$ che $g$ sono funzioni razionali (quozienti di polinomi). Una funzione razionale ha per dominio il complementare dell'insieme degli zeri del denominatore (perché dividere per zero fa piangere Gesù).
Credo d'aver capito (che stupido
) come procedere in questo caso: $ D= {(x,y)in R^2: (x,y) != (0,0)uu (x,y)!= (2,0)} $ Questo è il dominio ottenuto ponendo i den diversi da 0. Dunque la funzione presenta "buchi" nell'origine e nel punto (2,0) e dunque non siamo in un campo semplicemente connesso. Pero' se avete visto i calcoli che ho fatto la forma differenziale è chiusa (coincidono le derivate) ed ammette anche una primitiva dunque suppongo si possa dire lo stesso che sia esatta. Dico bene fin qui? 
Nessuno può aiutarmi ragazzi?
Non ci sei ancora... Il dominio non è quello.
Posta i passaggi.
Posta i passaggi.
"gugo82":
Non ci sei ancora... Il dominio non è quello.
Posta i passaggi.
Ciao, ho posto i "tre denominatori" diversi da 0 ottenendo quindi un $ y!= 0 $ , $ x!= 0 $ ed $ x!= 2 $ , essendo che quella funzione è definita in $R^2$ e si annulla per quei valori ho considerato che il dominio è tutto $R^2$tranne, appunto quei punti.. dove sbaglio?
Gli insiemi individuati dalle tre disuguaglianze non sono punti...
"gugo82":
Gli insiemi individuati dalle tre disuguaglianze non sono punti...
Allora io inizialmente avevo fatto ponendo le 3 disuguaglianze >0 disegnando il dominio su grafico mi veniva la porzione nel semiquadrante positivo dopo la retta x=2 con dunque assi e retta esclusi ... dunque era questo il modo? Dovrebbe essere semlicemente connesso in quella porzione di grafico...
Scusami tanto il disturbo ma ne ho fatti molti ma non capisco perch mi sto inceppando su questa "stupidaggine "
Il primo svolgimento era semplicemente errato dall’inizio.
Il secondo è corretto, solo che non riesci a capire quali sottoinsiemi di $RR^2$ vengano individuati dalle disuguaglianze $y!=0$, $x!=0$ ed $x!=2$.
Comincia dalla prima: com’è fatto l’insieme $\{(x,y) in RR^2: y!=0\}$?
Il secondo è corretto, solo che non riesci a capire quali sottoinsiemi di $RR^2$ vengano individuati dalle disuguaglianze $y!=0$, $x!=0$ ed $x!=2$.
Comincia dalla prima: com’è fatto l’insieme $\{(x,y) in RR^2: y!=0\}$?
"gugo82":
Il primo svolgimento era semplicemente errato dall’inizio.
Il secondo è corretto, solo che non riesci a capire quali sottoinsiemi di $RR^2$ vengano individuati dalle disuguaglianze $y!=0$, $x!=0$ ed $x!=2$.
Comincia dalla prima: com’è fatto l’insieme $\{(x,y) in RR^2: y!=0\}$?
Sarebbe detto così l'insieme di tutti i punti di $R^2$ "tranne" l'asse x , quindi "includendo" le altre disuguaglianze non sarebbe tutto $R^2$ tranne l'asse x,y e la retta x=2? O sono, ancora una volta, fuori strada? ahah
Finalmente!
E ti pare semplicemente connesso?
No!
E si possono applicare i teoremi su tutto il dominio?
No!
Però, però... Puoi ragionare localmente, in ogni componente connessa, e trovare “primitivine” piccine-picciò lì dove ti serve, cioè nella componente connesso che contiene il punto assegnato.
E ti pare semplicemente connesso?
No!
E si possono applicare i teoremi su tutto il dominio?
No!
Però, però... Puoi ragionare localmente, in ogni componente connessa, e trovare “primitivine” piccine-picciò lì dove ti serve, cioè nella componente connesso che contiene il punto assegnato.
"gugo82":
Finalmente!
E ti pare semplicemente connesso?
No!
E si possono applicare i teoremi su tutto il dominio?
No!
Però, però... Puoi ragionare localmente, in ogni componente connessa, e trovare “primitivine” piccine-picciò lì dove ti serve, cioè nella componente connesso che contiene il punto assegnato.
Ahahhah Grazie 1000, gentilissimo
Per il futuro, quando una forma differenziale ha dominio non connesso per archi, le sue "primitive" si trovano separatamente su ciascuna delle componenti connesse, perché la procedura con cui si trovano tali primitive, moralmente, consta del prendere un cammino $\gamma$ e integrare la forma su quel cammino; è chiaro allora che ciò che accade in una componente connessa diversa da quella in cui $\gamma$ cade (per continuità tale componente è unica) è irrilevante.
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