Dubbio su una disuguaglianza differenziale

[jellybean22]

Ciao a tutti,
avrei una domanda relativamente ad un esercizio che ho trovato girando per il forum.
Il link che porta all'esercizio è il seguente:
viewtopic.php?f=36&t=110771&p=726360&hilit=gronwall#p726360

Nella disuguaglianza differenziale che porta alla soluzione dell'esercizio abbiamo dato per scontato che fosse $x>=0$ nel momento in cui si integrava. Ma vale lo stesso nel caso in cui sia $x<=0$?

Grazie a tutti.

[jellybean22]

Quello che intendo dire (nel caso in cui mi fossi spiegato male) sarebbe: a destra di 0 siamo tranquilli per quanto concerne l'unicità (in quanto vale la disuguaglianza di gronwall). Ma nel caso in cui ci trovassimo a sinistra di 0??

Grazie a tutti

[jellybean22]

Up!

[Rigel1]

Hai una funzione continua \(v\geq 0\) tale che
\[
v(x) \leq \int_0^x v(t)\, dt, \qquad \forall x\in\mathbb{R}.
\]
Se \(x <0\) l'integrale è \(\leq 0\), dunque da \(0 \leq v(x) \leq 0\) deduci che deve essere \(v(x) = 0\).

[jellybean22]

Ahi, mi era sfuggita una cosa...

Grazie mille!