Dubbio su una dimostrazione

[HowardRoark]

Buongiorno, ho un dubbio su questa dim. Scrivo i miei commenti in corsivo per distinguerli dalla dimostrazione.
PROP: Se $A sub ZZ$ è limitato superiormente allora ha un massimo

DIM Prendo $M=$ sup $A$, faccio vedere che è un massimo, cioè che $M in A$.
Per assurdo suppongo $M notin A$ [nota]$M$ potrebbe anche non essere intero, perché gli estremi sup e inf sono definiti su $RR$[/nota]. Poi qui il professore applica questa proposizione: $ M =$ sup$A<=> M$ è maggiorante di $A$ e per ogni $epsilon > 0$ esiste $a in A$ tale che $a> M - epsilon$. Quindi pone $epsilon = 1$ e dice che esiste $n in A$ tale che $M-1 < n < M$. Questo per me è già sbagliato, perché abbiamo già dimostrato che tra $M-1$ ed $M$ non ci stanno altri interi, quindi come fa a prendere $n in A$ con tali caratteristiche se $A$ è un sottoinsieme di $ZZ$?

[DavidGnomo1]

"HowardRoark":Buongiorno, ho un dubbio su questa dim. Scrivo i miei commenti in corsivo per distinguerli dalla dimostrazione.
PROP: Se $A sub ZZ$ è limitato superiormente allora ha un massimo

DIM ...Poi qui il professore applica questa proposizione: $ M =$ sup$A<=> M$ è maggiorante di $A$ e per ogni $epsilon > 0$ esiste $a in A$ tale che $A> M - epsilon$. ...

Sicuramente sbaglio io, ma non ho capito come fa un insieme $A$ ad essere maggiore di un elemento $M$. Mi sarò perso qualche passaggio.

[HowardRoark]

No sarebbe un a piccolo, ho sbagliato a scrivere

[HowardRoark]

Comunque diciamo che tra $M-1$ ed $M$ ci può ovviamente essere un naturale perché $M$ è un numero reale in linea di massima. Qui è anche intero ma l' assurdo è proprio pensare che non lo sia. Quindi, se $M notin A$ è pacifico che quell' $n$ appartenga ad $A$.
Poi, da quello che ho capito la proposizione $M=$ supA se e solo se M è maggiorante di A e per ogni $epsilon$ positivo esiste $a in A$ tale che $a> M - epsilon$ vale per ogni insieme, anche per l' insieme A sottoinsieme di $ZZ$ sopra descritto. Quindi se pongo $epsilon= M-n>0$ allora esiste $k in A$ tale che $n

Cita

Segnala

[HowardRoark]

Scusate se ho scritto usando pochi simboli ma sono da telefono! Spero comunque che si capisca.

[HowardRoark]

Comunque non riesco a capire in che modo se $M in A$ non ci sarebbe più l'assurdo: se $M in A$ semplicemente massimo ed estremo superiore coinciderebbero e quindi varrebbero le stesse considerazioni che ho fatto in precedenza.

[Martino]

"HowardRoark":dice che esiste $n in A$ tale che $M-1 < n < M$.

Qui puoi dire che $n < M$ solo perché stai supponendo che $M notin A$. Senza l'ipotesi "$M notin A$" dovresti scrivere $M-1 < n le M$.

[HowardRoark]

Questo l'ho capito, quello che non mi è ancora chiaro è se questa caratterizzazione dell'estremo superiore ($M =$ sup$A$ <=> $M$ è maggiorante di $A$ e per ogni $epsilon>0$ esiste $a in A$ tale che $a>M- epsilon$) valga solo per insiemi di numeri reali. Perché questa definizione è stata usata nella dimostrazione ma a me per insiemi di numeri interi sembra falsa. Ad esempio, se prendo come insieme $ I = {1,2,3}$ so che $3$ è il suo massimo. per $epsilon = 0.5$ non ho alcun elemento di $A$ che è maggiore di $3-0.5$[nota]tranne $3$ stesso, quindi forse è corretta[/nota] quindi non mi sembra corretto dire che l'elemento che si trova con gli $epsilon$ appartenga ad $A$ per ogni $epsilon$ perché non è vero.
Comunque vorrei chiederti se potresti farmi capire perché se $M in A$ allora non c'è contraddizione, perché sto un po' entrando in confusione.

[Martino]

"HowardRoark":Ad esempio, se prendo come insieme $ I = {1,2,3}$ so che $3$ è il suo massimo. per $epsilon = 0.5$ non ho alcun elemento di $A$ che è maggiore di $3-0.5$

Ma come no?
$3$ è maggiore di $3-0.5$, non ti sembra?

[HowardRoark]

Infatti mi sono risposto da solo qualche secondo dopo
Però perché se $M in A$ non c'è l'assurdo? Il dubbio è sempre questo. Intanto lo scrivo ma spero di arrivarci tra poco.
Ah ok forse ho capito: se $M in A$ allora per forza $n=M$ e quindi mi verrebbe $epsilon = M-n=0$ E allora cercare un $k$ compreso tra $n$ ed $M$ diventa stupido perché riotterrei $M$. Penso che l'idea sia questa.

[Martino]

Esatto, puoi applicare la caratterizzazione a $varepsilon=M-n$ solo se questa quantità è positiva. Se $M in A$ potresti avere $n=M$ cioè $M-n=0$. Quindi se $M in A$ non si arriva a una contraddizione (ovviamente).