Dubbio su una dimostrazione

[singularity]

Ho un dubbio riguardo la seguente dimostrazione, trovata sulla vecchia edizione del Pagani - Salsa.

Data una curva regolare di $RR^n$, $(gamma, phi)$, ovvero $gamma sube RR^n$, $phi in C^1 ([a,b],RR^n)$ tale che $Im( phi)= gamma$, con $[a,b] sube RR$, dopo aver dimostrato che:
sup $l(Gamma_D) <= int_(a)^(b) ||phi ' (t)||dt $

si vuole dimostrare che:
sup $l(Gamma_D) >= int_(a)^(b) ||phi ' (t)||dt $

Dove $l(Gamma_D)$ è la lunghezza della poligonale ottenuta unendo i punti $phi(t_k)$ ottenuti come immagini di $phi$ sulla scomposizione $D$ di $[a,b]$.

Il teorema di Heine - Cantor assicura l'uniforme continuità per $phi'$, ovvero:

$AA epsilon >0, EE delta >0 :$ $ ||phi'(t) - phi ' (t_k) ||< epsilon ,AA t in [t_k, t_(k+1)]$ , $|t_(k+1) - t_k| < delta$

arrivati a qui il testo afferma che
$||phi'(t) - phi ' (t_k) ||< epsilon $ implica $||phi'(t)|| <= ||phi'(t_k)|| + epsilon$

solo che per me quest'implicazione non è affatto ovvia. Qualcuno saprebbe illuminarmi?

[Seneca1]

"singularity":$||phi'(t) - phi ' (t_k) ||< epsilon $ implica $||phi'(t)|| <= ||phi'(t_k)|| + epsilon$

solo che per me quest'implicazione non è affatto ovvia. Qualcuno saprebbe illuminarmi?

\[ \|\phi'(t)\| - \| \phi ' (t_k) \| \le | \|\phi'(t)\| - \| \phi ' (t_k) \| | \le \|\phi'(t) - \phi ' (t_k) \| \le \epsilon \]
Da cui...

[singularity]

"Seneca":[quote="singularity"]$||phi'(t) - phi ' (t_k) ||< epsilon $ implica $||phi'(t)|| <= ||phi'(t_k)|| + epsilon$

solo che per me quest'implicazione non è affatto ovvia. Qualcuno saprebbe illuminarmi?

\[ \|\phi'(t)\| - \| \phi ' (t_k) \| \le | \|\phi'(t)\| - \| \phi ' (t_k) \| | \le \|\phi'(t) - \phi ' (t_k) \| \le \epsilon \]
Da cui...[/quote]

Perché $|( ||phi'(t)|| - ||phi ' (t_k)||) | <= ||phi'(t) - phi'(t_k)|| $?

[Seneca1]

Qualla disuguaglianza lì è una conseguenza immediata della disuguaglianza triangolare (si può generalizzare nell'ambito degli spazi metrici). Prova a dimostrarla per esercizio.

[singularity]

Okay, in questo caso:

$||phi'(t) + phi'(t_k) + phi'(t) - phi'(t_k)|| <= ||phi'(t) + phi'(t_k) || + || phi'(t) - phi'(t_k)|| <= $
$ <=||phi'(t) || + ||phi'(t_k)|| + ||phi'(t) - phi'(t_k)|| $ , da cui:

$2||phi'(t)|| <= ||phi'(t) || +||phi'(t_k)|| + ||phi'(t) - phi'(t_k)||$ , ovvero:

$||phi'(t)|| - ||phi'(t_k)|| <= ||phi'(t) - phi'(t_k)||$

Corretto?