Dubbio su una definizione
Salve a tutti.
Riporto la definizione di derivata parziale di una funzione $f$.
Sia $A sube R^n$, $f$$: A to R^m$, $c$$ in IntA$, $i in {1,2,...,n}$. Diciamo che la funzione $f$ è derivabile parzialmente rispetto ad $x_i$ nel punto $c$, quando esiste ed appartiene ad $R^m$ il limite
$lim_(t->0) {f(c+te_i)-f(c)}/t $
In tal caso, il limite prende il nome di derivata parziale della funzione $f$ rispetto ad $x_i$ nel punto $c$.
EDIT: $e_i$ è l'i-esimo vettore della base canonica di $R^n$, $t in R$, $IntA$ significa "interno dell'insieme A".
Detto questo, la domanda è:
Perché deve essere $c in Int A$ e non semplicemente $c in A$? Perché si escludono i punti di frontiera dell'insieme $A$?
Riporto la definizione di derivata parziale di una funzione $f$.
Sia $A sube R^n$, $f$$: A to R^m$, $c$$ in IntA$, $i in {1,2,...,n}$. Diciamo che la funzione $f$ è derivabile parzialmente rispetto ad $x_i$ nel punto $c$, quando esiste ed appartiene ad $R^m$ il limite
$lim_(t->0) {f(c+te_i)-f(c)}/t $
In tal caso, il limite prende il nome di derivata parziale della funzione $f$ rispetto ad $x_i$ nel punto $c$.
EDIT: $e_i$ è l'i-esimo vettore della base canonica di $R^n$, $t in R$, $IntA$ significa "interno dell'insieme A".
Detto questo, la domanda è:
Perché deve essere $c in Int A$ e non semplicemente $c in A$? Perché si escludono i punti di frontiera dell'insieme $A$?
Risposte
Buona sera
La funzione da te scritta $(f(c+te_i)-f(c))/t$ deve essere definita in un insieme di numeri reali che abbia $0$ per accumulazione, affinché si possa calcolarne il limite.
Ciò è sicuro se il punto $c$ è un punto interno, in tal caso esiste un intorno $I(0,d)subR$ tale che:
$tinI(0,d)$ allora $c+te_iinA$ (sai trovare un tale intorno?)
Pensa che è necessario per la ricerca del limite in un punto è che tale punto sia di accumulazione,
la frontiera può avere anche punti isolati per l' insieme.
Ciao
Mino
La funzione da te scritta $(f(c+te_i)-f(c))/t$ deve essere definita in un insieme di numeri reali che abbia $0$ per accumulazione, affinché si possa calcolarne il limite.
Ciò è sicuro se il punto $c$ è un punto interno, in tal caso esiste un intorno $I(0,d)subR$ tale che:
$tinI(0,d)$ allora $c+te_iinA$ (sai trovare un tale intorno?)
Pensa che è necessario per la ricerca del limite in un punto è che tale punto sia di accumulazione,
la frontiera può avere anche punti isolati per l' insieme.
Ciao
Mino
I punti di frontiera si escludono per motivi "geometrici".
Ad esempio, se \(D\) è il disco unitario chiuso di \(\mathbb{R}^2\), i.e. se:
\[
D:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\leq 1\}\; ,
\]
scelto \(c=(1,0)\) per qualsivoglia funzione \(f:D\to \mathbb{R}\) il rapporto incrementale che figura nel limite che definisce \(\frac{\partial f}{\partial y}\) non ha alcun significato; lo stesso vale per il rapporto incrementale che figura nella definizione di \(\frac{\partial f}{\partial x}\) nel punto \(c^\prime =(0,1)\).
Ad esempio, se \(D\) è il disco unitario chiuso di \(\mathbb{R}^2\), i.e. se:
\[
D:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\leq 1\}\; ,
\]
scelto \(c=(1,0)\) per qualsivoglia funzione \(f:D\to \mathbb{R}\) il rapporto incrementale che figura nel limite che definisce \(\frac{\partial f}{\partial y}\) non ha alcun significato; lo stesso vale per il rapporto incrementale che figura nella definizione di \(\frac{\partial f}{\partial x}\) nel punto \(c^\prime =(0,1)\).
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