Dubbio su un problema che richiede l'utilizzo di Stokes
Il problema recita:
Utilizzando il teorema di Stokes calcolare la circuitazione del campo $F(x,y,z)=(-x^2,y^2,-z^2)$ lungo il bordo della superficie definita come:
${(x,y,z)R3: x+2y+z=2 , x^2+y^2<=1}$
In questo caso il docente vuole che noi calcoliamo il doppio (per questo ci da la superficie e non il suo bordo). Deduco dalla superficie che si tratta di un cilindro sezionato da un piano inclinato. Ecco i miei dubbi
1)E' giusto proseguire parametrizzando secondo le coordinate cilindriche e impostando l'integrale doppio in modo che dipenda da z e dall'angolo, dicendo che rho rimane fisso ad 1? Io intenderei fare l'integrale più esterno che varia da $0$ a $2\pi$ e quello più interno che varia da $z=0$ a $z=2-x-2y$ (ovviamente parametrizzato con le cilindriche).
2)Calcolando il rotore trovo $rotF=0$, ossia un campo conservativo: a questo punto l'integrale non è automaticamente nullo?
3) Come devo fare per la matrice Jacobiana?
Utilizzando il teorema di Stokes calcolare la circuitazione del campo $F(x,y,z)=(-x^2,y^2,-z^2)$ lungo il bordo della superficie definita come:
${(x,y,z)R3: x+2y+z=2 , x^2+y^2<=1}$
In questo caso il docente vuole che noi calcoliamo il doppio (per questo ci da la superficie e non il suo bordo). Deduco dalla superficie che si tratta di un cilindro sezionato da un piano inclinato. Ecco i miei dubbi
1)E' giusto proseguire parametrizzando secondo le coordinate cilindriche e impostando l'integrale doppio in modo che dipenda da z e dall'angolo, dicendo che rho rimane fisso ad 1? Io intenderei fare l'integrale più esterno che varia da $0$ a $2\pi$ e quello più interno che varia da $z=0$ a $z=2-x-2y$ (ovviamente parametrizzato con le cilindriche).
2)Calcolando il rotore trovo $rotF=0$, ossia un campo conservativo: a questo punto l'integrale non è automaticamente nullo?
3) Come devo fare per la matrice Jacobiana?
Risposte
"TeM":
Dunque, sia dato un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y,\,z) := \left(-x^2,\,y^2,\,-z^2\right) \] e sia data una superficie \(\Sigma\) definita da \[ \Sigma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : x + 2\,y + z = 2, \; x^2 + y^2 \le 1 \right\} \,, \] parametrizzabile in maniera naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(\rho,\,\theta) = \left(\rho\,\cos\theta, \; \rho\,\sin\theta, \; 2 - \rho\,\cos\theta - 2\,\rho\,\sin\theta\right)\,, \; \; \; \text{per} \; (\rho,\,\theta) \in A := \left[0, \; 1\right] \times [0,\,2\pi) \,, \] il cui bordo \(\partial\Sigma\) è banalmente parametrizzabile come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{s}(\theta) = \left(\cos\theta, \; \sin\theta, \; 2 - \cos\theta - 2\,\sin\theta\right)\,, \; \; \; \text{per} \; \theta \in [0,\,2\pi) \,. \] Per definizione, la circuitazione \(\mathfrak{L}\) di \(\mathbf{F}\) lungo la curva \(\partial\Sigma\) è pari a \[ \mathfrak{L}_{\partial\Sigma}(\mathbf{F}) := \int\limits_{\partial^+\Sigma} \mathbf{F}\cdot \mathbf{t}_{\partial\Sigma}\,\text{d}s = \int\limits_0^{2\,\pi} \mathbf{F}(\mathbf{s}(\theta)) \cdot \mathbf{s}'(\theta)\,\text{d}\theta = \dots \] mentre, per il teorema del rotore, si ha \[\mathfrak{L}_{\partial\Sigma}(\mathbf{F}) = \iint\limits_{\Sigma} \left(\nabla \land \mathbf{F}\right) \cdot \mathbf{n}_{\Sigma}\,\text{d}\sigma = \iint\limits_A \left(\nabla \land \mathbf{F}\right)(\mathbf{r}(\rho,\,\theta)) \cdot \left( \mathbf{r}_{\rho}(\rho,\,\theta) \land \mathbf{r}_{\theta}(\rho,\,\theta) \right) \text{d}\rho\,\text{d}\theta = \dots\] Come hai ben notato, dato che il rotore di \(\mathbf{F}\) è nullo, la circuitazione di \(\mathbf{F}\) è identicamente nulla, fine.
Ciao grazie per la risposta, potresti aiutarmi sulle altre cose che ho chiesto? Per il doppio sono giustificati gli estremi che ho posto? E posto che il rotore non fosse nullo, cosa otterrei dal calcolo della jacobiana in questo esercizio?
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