Dubbio su un passaggio di una equazione differenziale

[andrew122]

Scusate ragazzi ho un dubbio sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
mi spiego meglio con un esempio di cui avevo visto la soluzione:

\[ \ y'=sin(x) \sqrt(y') \ \]

dopo aver svolto i passaggi si perviene alla soluzione :
\[ \ y(x)= \ \int_{0}^{x} \ (-1/2 \ cos(t) + c1 )^2 dt\ +c2 \]


ora la mia domanda è perche si integra da 0 a X e non faccio un integrale indefinito come ero sempre abituato,oppure entrambi i metodi sono validi???
grazie per le risposte =)

[Lorin1]

ma l'equazione è non lineare?!

[Brancaleone1]

"andrew12":
\[ \ y'=sin(x) \sqrt(y') \ \]

Presumo che tu intendessi invece
\[y'(x)=\sin(x)\sqrt{y(x)}\]

Poiché non hai condizioni iniziali (es. non è un problema di Cauchy) allora il modo di svolgerlo sarebbe

$int_(y_0)^y 1/sqrtu du=int_(x_0)^x sin(t)dt$

$2[sqrtu]_(y_0)^y=[-cos(t)]_(x_0)^x$

\(\displaystyle 2\sqrt{y}\color{red}{-2\sqrt{y_0}}=-\cos(x)\color{red}{+\cos(x_0)}\)

con $x_0$ e $y(x_0)=y_0$ punti accettabili.
I termini in rosso però sono costanti, e quindi si perviene alla forma

\(\displaystyle \Rightarrow 2\sqrt{y}=-\cos(x)\color{red}{+c}\)

che vediamo essere la stessa soluzione che si trova calcolando direttamente l'integrale indefinito

$int 1/sqrty dy=int sin(x)dx=>2sqrty=-cos(x)+c$

"andrew12":
dopo aver svolto i passaggi si perviene alla soluzione :
\[ \ y(x)= \ \int_{0}^{x} \ (-1/2 \ cos(t) + c1 )^2 dt\ +c2 \]

ora la mia domanda è perche si integra da 0 a X

Attenzione: se non hai condizioni iniziali non puoi integrare partendo da una costante nota come è $0$, ma devi farlo partendo da una costante generica $x_0$.

"andrew12":
e non faccio un integrale indefinito come ero sempre abituato,oppure entrambi i metodi sono validi???

Ho risposto sopra