Dubbio su un limite
salve ragazzi ho un dubbio... se io calcolo il limite di x->0 di 1/x ottengo un valore di infinito... ma se io calcolo il limite destro e sinistro di questo limite ottengo valori diversi e quindi per definizione non esiste questo limite... sbaglio io qualcosa??
Risposte
non esiste $lim_(x->0) 1/x$ esiste solo quello destro e sinistro. Da destra va a $+\infty$
a sinistra $-\infty$
a sinistra $-\infty$
mmmm allora ho un pò di confusione... perchè non esiste?
prova a pensarci
un numero si può dividere per zero? Per esempio ha senso scrivere $1/0$?
un numero si può dividere per zero? Per esempio ha senso scrivere $1/0$?
quindi dovrebbe essere la stessa cosa per ogni limite di x->0 di 1/x^n... qualsiasi sia n giusto?
No, perchè $\lim_(x \to 0) 1/x^2$, ad esempio, esiste e vale $+oo$.
Questo perché sia che ti avvicini da sinistra o da destra il numero, elevato a potenza pari, è sempre positivo, quindi i due casi sono sempre uguali.
Cioè (con $n \in \mathbb{N}$)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty , \forall n\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty & \text{se } n \text{ pari} \\ -\infty & \text{se } n \text{ dispari} \end{cases} \)
e quindi
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty & \text{se } n \text{ pari} \\ \text{non esiste } & \text{se } n \text{ dispari} \end{cases} \)
Questo perché sia che ti avvicini da sinistra o da destra il numero, elevato a potenza pari, è sempre positivo, quindi i due casi sono sempre uguali.
Cioè (con $n \in \mathbb{N}$)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty , \forall n\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty & \text{se } n \text{ pari} \\ -\infty & \text{se } n \text{ dispari} \end{cases} \)
e quindi
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty & \text{se } n \text{ pari} \\ \text{non esiste } & \text{se } n \text{ dispari} \end{cases} \)
quindi se l'indice è pari vale perchè ottengo il limite da dx = al limite da sx... mentre nel caso per n dispari sono diversi e quindi il limite non esiste.... giusto?
...sì, poiché il limite se esiste è unico, cioè affiché $\lim_{x \to 0} 1/x^n$ esista deve risultare:
$\lim_{x \to 0} 1/x^n=\lim_{x \to 0^+} 1/x^n=\lim_{x \to 0^-} 1/x^n$
Ciò però non toglie che i limiti da destra e da sinistra (considerandoli separatamente) esistono.
$\lim_{x \to 0} 1/x^n=\lim_{x \to 0^+} 1/x^n=\lim_{x \to 0^-} 1/x^n$
Ciò però non toglie che i limiti da destra e da sinistra (considerandoli separatamente) esistono.
perfetto XD allora ci sono!!! scusate se ci ho messo tanto a capire XD
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