Dubbio su un limite
Ciao ho un dubbio su questo limite . A me da come risultato -6 però dovrebbe uscire -5 .
http://dm.ing.unibs.it/gervasio/Analisi1/materiale.html
Il link e' questo . Scusate ma ancora ho difficoltà a scrivere le formule nei topic.
http://dm.ing.unibs.it/gervasio/Analisi1/materiale.html
Il link e' questo . Scusate ma ancora ho difficoltà a scrivere le formule nei topic.
Risposte
si ma il limite qual è?
Scrivere le formule non è così difficile, perché non provi semplicemente a scrivere seguendo questa bozza:
per $lim_(x to c) (x^n + pi + log(x))/(cos(x) + sin(x)) + 5x$
Ricordati i simboli di dollaro, nella maggior parte dei casi basta mettere loro intorno e hai tutta la formula scritta e formattata.
$lim_(x to c) (x^n + pi + log(x))/(cos(x) + sin(x)) + 5x$
per $lim_(x to c) (x^n + pi + log(x))/(cos(x) + sin(x)) + 5x$
Ricordati i simboli di dollaro, nella maggior parte dei casi basta mettere loro intorno e hai tutta la formula scritta e formattata.
Il limite e' questo
$lim_(x to 0) (( log(cos(x^(2)*sqrt(2)))-x*sin(x)-x^2)*6/x^4)$
$lim_(x to 0) (( log(cos(x^(2)*sqrt(2)))-x*sin(x)-x^2)*6/x^4)$
qualche sviluppo e passa la paura! dove ti intoppi?
Ancora gli sviluppi di taylor non li ho fatti ho provato con le stime asintotiche ma il risultato mi viene -6. Vorrei sapere come fa ad uscire -5 secondo la soluzione 
quel limite senza Taylor non si può fare ... vorrei veder i passaggi che hai fatto con le stime asintotiche
Beh, la seconda parte diventa:
\begin{align} -6 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\left( \frac{\sin(x)}{x} + 1\right) &= -6 \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\right)\cdot \left(1 + \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \right) \\
&= -12 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = -\infty\end{align}
D'altra parte la prima parte
\begin{align} 6 \lim_{x \to 0} \frac{\log\left(\cos\left( x^2\sqrt{2}\right)\right)}{x^4}
\end{align}
è meno semplice da semplificare (soprattutto senza usare Taylor).
Siccome è un forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\) si può usare de L'Hopital. Vediamo dove porta...
\begin{align} 6 \lim_{x \to 0} \frac{\log\left(\cos\left( x^2\sqrt{2}\right)\right)}{x^4} &= 6 \lim_{x \to 0} \left( -\frac{2\sqrt{2}x\sin\left( x^2\sqrt{2}\right)}{\cos\left( x^2\sqrt{2}\right)}\right)\left( \frac{1}{4x^3} \right) \\
&= -3\sqrt{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan\left( x^2\sqrt{2}\right)}{x^2} \right) \\
\end{align}
Noto che con il cambiamento di variabile \(y = x^2\sqrt{2}\) ricavo
\begin{align} -3\sqrt{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan\left( x^2\sqrt{2}\right)}{x^2} \right) &= -6 \lim_{y \to 0} \left( \frac{\tan( y)}{y} \right) \\
&= -6
\end{align}
Quindi la mia impressione è che il limite debba essere \(-\infty\) (e walfram mi dà ragione per quel che vale). Ma sono arrugginito e potrei sbagliarmi ovviamente.
\begin{align} -6 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\left( \frac{\sin(x)}{x} + 1\right) &= -6 \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\right)\cdot \left(1 + \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \right) \\
&= -12 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = -\infty\end{align}
D'altra parte la prima parte
\begin{align} 6 \lim_{x \to 0} \frac{\log\left(\cos\left( x^2\sqrt{2}\right)\right)}{x^4}
\end{align}
è meno semplice da semplificare (soprattutto senza usare Taylor).
Siccome è un forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\) si può usare de L'Hopital. Vediamo dove porta...
\begin{align} 6 \lim_{x \to 0} \frac{\log\left(\cos\left( x^2\sqrt{2}\right)\right)}{x^4} &= 6 \lim_{x \to 0} \left( -\frac{2\sqrt{2}x\sin\left( x^2\sqrt{2}\right)}{\cos\left( x^2\sqrt{2}\right)}\right)\left( \frac{1}{4x^3} \right) \\
&= -3\sqrt{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan\left( x^2\sqrt{2}\right)}{x^2} \right) \\
\end{align}
Noto che con il cambiamento di variabile \(y = x^2\sqrt{2}\) ricavo
\begin{align} -3\sqrt{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan\left( x^2\sqrt{2}\right)}{x^2} \right) &= -6 \lim_{y \to 0} \left( \frac{\tan( y)}{y} \right) \\
&= -6
\end{align}
Quindi la mia impressione è che il limite debba essere \(-\infty\) (e walfram mi dà ragione per quel che vale). Ma sono arrugginito e potrei sbagliarmi ovviamente.
c'è una una semplificazione di $x\sin x-x^2$ se ci si arresta al primo ordine, cioè con le stime asintotiche o i limiti notevoli 
con gli sviluppi torna
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos \left(x^2\sqrt 2\right)-x\sin x+x^2}{\frac{x^2}{6}}&\sim\lim_{x\to0}\frac{ (\cos \left(x^2\sqrt 2\right)-1)-x\sin x+x^2}{\frac{x^4}{6}}\\
&\stackrel{\bf (T)}{=}\lim_{x\to0}\frac{1-x^4+o(x^4)-1-x\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right) +x^2}{\frac{x^4}{6}}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1-x^4+o(x^4)-1-x^2-\frac{x^4}{3!}+o(x^4) +x^2}{\frac{x^4}{6}}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{ -x^4+o(x^4) -\frac{x^4}{3!}+o(x^4) }{\frac{x^4}{6}}=\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}=-5
\end{align}
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos \left(x^2\sqrt 2\right)-x\sin x+x^2}{\frac{x^2}{6}}&\sim\lim_{x\to0}\frac{ (\cos \left(x^2\sqrt 2\right)-1)-x\sin x+x^2}{\frac{x^4}{6}}\\
&\stackrel{\bf (T)}{=}\lim_{x\to0}\frac{1-x^4+o(x^4)-1-x\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right) +x^2}{\frac{x^4}{6}}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1-x^4+o(x^4)-1-x^2-\frac{x^4}{3!}+o(x^4) +x^2}{\frac{x^4}{6}}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{ -x^4+o(x^4) -\frac{x^4}{3!}+o(x^4) }{\frac{x^4}{6}}=\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}=-5
\end{align}
Allora il mio primo passaggio è stata l'approssimazione $x*sin(x)~x^2$
Successivamente ho fatto un'approssimazione asintotica di $cos(x^(2)*sqrt(2))~x^4$ e mi viene -6.
Successivamente ho fatto un'approssimazione asintotica di $cos(x^(2)*sqrt(2))~x^4$ e mi viene -6.
si ma l'approssimazione $x\sin x ~ x^2$ si annulla con l'$x^2$ che hai subito dopo, e dunque a numeratore perdi informazioni sulla funzione
È quindi l' approssimazione del seno in questo caso non vale?
"vict85":
Beh, la seconda parte diventa:
\begin{align} -6 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\left( \frac{\sin(x)}{x} + 1\right) &= -6 \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\right)\cdot \left(1 + \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \right) \\
&= -12 \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = -\infty\end{align}
forse è qui che c'è qualcosa che non va
\begin{align}
6\left(\frac{\sin x}{x^3}-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{6}{x^2}\left(\frac{\sin x}{x }-1\right)
\end{align}
e dentro quella tonda avvengo semplificazioni "rischiose"
"Domcal2116":
È quindi l' approssimazione del seno in questo caso non vale?
non è che non vale, vale ma ai tuoi fini, cioè al calcolo del limite, non è sufficiente perhcè fa sparire tutto! quindi devi sviluppare il seno ancora un pò
No, il problema è che in quello che ha scritto lui/lei era \(-x^2\) e io ho risolto quello 
Tu invece hai risolto con il \(+x^2\). Nel mio calcolo i due non si annullavano e quindi il calcolo era molto tranquillo.
Tu invece hai risolto con il \(+x^2\). Nel mio calcolo i due non si annullavano e quindi il calcolo era molto tranquillo.
allora ho fatto un altro esercizo! scusa 
No, probabilmente ha sbagliato lui/lei a scriverlo all'inizio dato che il calcolo tuo è corretto... Sono io che ho risolto l'altro.
In ogni caso i cannoni lo abbattono (basta usare 2 volte de l'Hopital)...
\begin{align} 6\lim_{x\to 0} \left( \frac{x - \sin(x)}{x^3} \right) &= 6\lim_{x\to 0} \left( \frac{1 - \cos(x)}{3x^2} \right) \\
&= 6\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin(x)}{6x} \right) = 1
\end{align}
e questo conclude il calcolo..
In ogni caso i cannoni lo abbattono (basta usare 2 volte de l'Hopital)...
\begin{align} 6\lim_{x\to 0} \left( \frac{x - \sin(x)}{x^3} \right) &= 6\lim_{x\to 0} \left( \frac{1 - \cos(x)}{3x^2} \right) \\
&= 6\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin(x)}{6x} \right) = 1
\end{align}
e questo conclude il calcolo..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo