Dubbio su un integrale

[azzurra981]

Salve, se ad esempio ho:
$\int_-infty^infty x^2 {\int_-infty^infty\int_-infty^infty A(x,y)B(x,y)dxdy} dx$

come diventa?
Posso portare quell'x^2 dentro l'integrale doppio? Ovvero così:

$\int_-infty^infty\int_-infty^infty x^2*A(x,y)B(x,y)dxdy$

[gugo82]

"azzurra981":Salve, se ad esempio ho:
$\int_-infty^infty x^2 {\int_-infty^infty\int_-infty^infty A(x,y)B(x,y)dxdy} dx$

come diventa?
Posso portare quell'x^2 dentro l'integrale doppio? Ovvero così:

$\int_-infty^infty\int_-infty^infty x^2*A(x,y)B(x,y)dxdy$

Sì, ma a patto di cambiare il nome della prima variabile d'integrazione nell'integrale doppio interno.

Infatti è corretto scrivere:
\[
x^2\ \iint_{\mathbb{R}^2} A(t,y)\ B(t,y)\ \text{d} t\text{d} y = \iint_{\mathbb{R}^2} x^2\ A(t,y)\ B(t,y)\ \text{d} t\text{d} y
\]
ma ovviamente non si può scrivere:
\[
x^2\ \iint_{\mathbb{R}^2} A(x,y)\ B(x,y)\ \text{d} x\text{d} y = \iint_{\mathbb{R}^2} x^2\ A(x,y)\ B(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\; .
\]

[azzurra981]

E se quella x^2 fosse una funzione.. e dipendesse anch'essa da t e da y, cioè x^2(y,t) cosa succederebbe?

[gugo82]

Succederebbe che ovviamente, in generale, avresti:
\[
f(t,y)\ \iint_{\mathbb{R}^2} A(t,y)\ B(t,y)\ \text{d} t\text{d} y \neq \iint_{\mathbb{R}^2} f(t,y)\ A(t,y)\ B(t,y)\ \text{d} t\text{d} y\; .
\]
Ciò per un motivo semplice: in generale, il primo membro è una funzione di \(t\) ed \(y\), mentre il secondo è una costante.