Dubbio su un esercizio sugli integrali curvilieni (analisi 2)
Ciao a tutti, scusa se vi disturbo, ma mi sto scervellando su questo esercizio e non riesco ad andare avanti dopo un certo punto,
il quesito è il seguente:
"Siano D:= { (x,y) € R^2 : 1/4 x^2 + y^2 <= 1} e w la forma differenziale :
w(x,y) = ( 2x^2 + (1/1+y^2) ) dx + (3y^2 + (2xy / ((1+y^2)^2) )dy.
a) Dire se w è chiusa e/o esatta nel suo dominio;
b) Calcolare integrale(calcolato sulla frontiera positiva) di w:
Io ho interpretato l'esercizio così:
a) w la possiamo scrivere come w=w1+w2 dove:
w1= 2x^2 dx + 3y^2 dy
w2= (1/1+y^2)dx + (2xy / ((1+y^2)^2)dy.
Essendo la funzione definita in tutto il piano (x,y), allora w è semplicemente connessa nel suo dominio.
w1 è chiusa poiché le derivate incrociate danno entrambe zero e pertanto sono uguali.
w1 è dunque anche esatta poiché è chiusa e semplicemente connessa e il suo integrale calcolato in un percorso chiuso è zero.
Per quanto riguarda w2 facendo i calcoli, non è chiusa poiché dX/dy è diversa da dY/dx per via di un segno meno.
Essendo poi w2 semplicemente connessa (non ci sono "buchi" nel dominio) allora w2 non può essere esatta, poiché sennò sarebbe automaticamente chiusa, ma non lo è.
Quindi w non è né chiusa né esatta nel suo dominio.
b) Qui ho un po di problemi...
Siccome non è chiusa la forma differenziale (w2 è il problema!), non posso deformare il cammino per semplificarmi l'integrale.
Il mio cammino è un ellisse aventi assi a=2 e b=1 ... il mio cammino lo posso parametrizzare come (2cos t,sin t) con t c [0,2pi].
Il verso mi viene antiorario.
Vado a sostituire a x -> 2cost e a y-> sint... considerando i relativi dx e dy.. solo che mi viene un integrale (non mi si semplifica nulla!) che va da 0 a 2 pi greco... e mi fa zero perché se sostituisco per esempio cost = u mi vengono integrali con stessi estremi di integrazione :S
Per via del punto uno non mi può venire zero!!
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo!!
Spero di aver postato nella sezione giusta :I
il quesito è il seguente:
"Siano D:= { (x,y) € R^2 : 1/4 x^2 + y^2 <= 1} e w la forma differenziale :
w(x,y) = ( 2x^2 + (1/1+y^2) ) dx + (3y^2 + (2xy / ((1+y^2)^2) )dy.
a) Dire se w è chiusa e/o esatta nel suo dominio;
b) Calcolare integrale(calcolato sulla frontiera positiva) di w:
Io ho interpretato l'esercizio così:
a) w la possiamo scrivere come w=w1+w2 dove:
w1= 2x^2 dx + 3y^2 dy
w2= (1/1+y^2)dx + (2xy / ((1+y^2)^2)dy.
Essendo la funzione definita in tutto il piano (x,y), allora w è semplicemente connessa nel suo dominio.
w1 è chiusa poiché le derivate incrociate danno entrambe zero e pertanto sono uguali.
w1 è dunque anche esatta poiché è chiusa e semplicemente connessa e il suo integrale calcolato in un percorso chiuso è zero.
Per quanto riguarda w2 facendo i calcoli, non è chiusa poiché dX/dy è diversa da dY/dx per via di un segno meno.
Essendo poi w2 semplicemente connessa (non ci sono "buchi" nel dominio) allora w2 non può essere esatta, poiché sennò sarebbe automaticamente chiusa, ma non lo è.
Quindi w non è né chiusa né esatta nel suo dominio.
b) Qui ho un po di problemi...
Siccome non è chiusa la forma differenziale (w2 è il problema!), non posso deformare il cammino per semplificarmi l'integrale.
Il mio cammino è un ellisse aventi assi a=2 e b=1 ... il mio cammino lo posso parametrizzare come (2cos t,sin t) con t c [0,2pi].
Il verso mi viene antiorario.
Vado a sostituire a x -> 2cost e a y-> sint... considerando i relativi dx e dy.. solo che mi viene un integrale (non mi si semplifica nulla!) che va da 0 a 2 pi greco... e mi fa zero perché se sostituisco per esempio cost = u mi vengono integrali con stessi estremi di integrazione :S
Per via del punto uno non mi può venire zero!!
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo!!
Spero di aver postato nella sezione giusta :I
Risposte
Grazie mille!
Ero in dubbio sul risultato finale.. i calcoli erano giusti però non riuscivo a capire perché venisse zero.
Grazie per la risposta e per la disponibilità!
Ero in dubbio sul risultato finale.. i calcoli erano giusti però non riuscivo a capire perché venisse zero.
Grazie per la risposta e per la disponibilità!
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