Dubbio su un esercizio di limiti.

[_GaS_11]

Si deve calcolare il limite per '' $ntooo$ ''.
$a_n=(n^3+2n)/(5-n)log(cos(3/n^2))$.
Verso la fine sono giunto a questo: $a_n=-n^2/2[3/n^2+log(1-1/n^2)]$.
Mi chiedo se sia possibile utilizzare il limite notevole: $(log(1+aepsilon_n))/epsilon_ntoa$.
In questo caso '' $a$ '' sarebbe negativo. Direi che può essere usato.

[Lilla932]

Ma il limite notevole del logaritmo io so che funziona se e solo se si ha $ lim_(x -> 0) $
Puoi inserire il risultato??

[_GaS_11]

Dunque, è un limite di successione, dove '' $epsilon_nto0$ '' per '' $ntooo$ ''.
Mi viene '' $-1$ ''.
Ho solo un dubbio sul fatto che avanti a '' $1/n^2$ '' c'è un meno, ma dovrebbe essere valido considerare '' $a$ '' negativo, quindi non dovrebbero esserci problemi.
Ti ringrazio.

[Noisemaker]

Il limite
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+2n}{5-n}\ln\left(\cos\frac{3}{n^2}\right),
\end{align}
non porta al risultato cui sei giunto ... . Infatti,
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+2n}{5-n}\ln\left(\cos\frac{3}{n^2}\right)&\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3 }{ -n} \left(\cos\frac{3}{n^2}-1\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3 }{ n} \left(1-\cos\frac{3}{n^2} \right)\\
&=\lim_{n\to+\infty} n^2\cdot\frac{9}{2n^4}=\lim_{n\to+\infty} \frac{9}{2n^2}=0.
\end{align}

[_GaS_11]

@Noisemaker.
Hai ragione, viene '' $0$ '' anche con l'altro metodo, avevo fatto un errore di calcolo. Ho proceduto così:
$a_n~-n^2log(cos(3/n^2))=-n^2log(sqrt(1-sen^2(3/n^2)))$. Da qui ho utilizzato proprietà di logaritmi e scomposizione nella differenza di quadrati, giungendo a:
$a_n=-n^2/2(3/n^2)[(sen(3/n^2))/(3/n^2)+(log(1-3/n^2))/(3/n^2)]$. Dai limiti notevoli:
$a_n=-3/2[1-1]=0$. Prima nell'argomento del logaritmo, alla fine, avevo erroneamente messo '' $1-1/n^2$ ''.
Ti ringrazio.
Quindi il limite notevole '' $(log(1+aepsilon_n))/epsilon_ntoa$ '' con '' $a<0$ '' può essere utilizzato. Così il dubbio è stato risolto.