Dubbio su un esercizio con il principio di Induzione
Salve a tutti,
l'esercizio è il seguente \(\displaystyle \sum (2n+2k-1)=3n^2 \) con k da 1 a n
Dopo la prima verifica: Base dell'induzione, sono passato alla seconda: Passo induttivo.
Nel passo induttivo mi viene \(\displaystyle \sum (2n+2+2k-1)\) (con k da 1 a n+1) \(\displaystyle = \sum (2n+2k-1+2)+(4n+3)\) (con k da 1 a n) \(\displaystyle = \sum(2n+2k-1) + \sum2+(4n+3)= 3n^2 + \sum2+(4n+3) \) come vado avanti?
ho fatto delle prove e se procedessi cosi \(\displaystyle 3n^2+\sum2 + (4n+3)= 3n^2+2(n)+4n+3 \) non viene continuando perchè dovrebbe venire \(\displaystyle 3(n+1)^2 \) se però al posto di \(\displaystyle 2(n) \) mettessi \(\displaystyle 2(n+1) \) verrebbe..ma perchè devo mettere n+1 se sono gia passato da \(\displaystyle \sum \) con k da 1 ad n+1 alla sommatoria \(\displaystyle \sum \) con k da 1 a n???
l'esercizio è il seguente \(\displaystyle \sum (2n+2k-1)=3n^2 \) con k da 1 a n
Dopo la prima verifica: Base dell'induzione, sono passato alla seconda: Passo induttivo.
Nel passo induttivo mi viene \(\displaystyle \sum (2n+2+2k-1)\) (con k da 1 a n+1) \(\displaystyle = \sum (2n+2k-1+2)+(4n+3)\) (con k da 1 a n) \(\displaystyle = \sum(2n+2k-1) + \sum2+(4n+3)= 3n^2 + \sum2+(4n+3) \) come vado avanti?
ho fatto delle prove e se procedessi cosi \(\displaystyle 3n^2+\sum2 + (4n+3)= 3n^2+2(n)+4n+3 \) non viene continuando perchè dovrebbe venire \(\displaystyle 3(n+1)^2 \) se però al posto di \(\displaystyle 2(n) \) mettessi \(\displaystyle 2(n+1) \) verrebbe..ma perchè devo mettere n+1 se sono gia passato da \(\displaystyle \sum \) con k da 1 ad n+1 alla sommatoria \(\displaystyle \sum \) con k da 1 a n???
Risposte
Gugo non volermi male voglio solo scrivere che ho capito l'errore quindi non dedicateci tempo. Grazie mille lo stesso. Era giusto mettendo 2(n) sbagliavo un calcolo, il 2(n+1) non c'entra niente
allora scusatemi ma ancora non so usare il tex.
Mi riprometto di farlo a breve.
Dunque primo passaggio
2n viene ripetuto per ogni valore della sommatoria. Quindi esternamente ad essa diventa:
2(n)^2 somma k-1= 3n^2
quindi aggiungendo +1
k-1=k e 2(n+1)^2=2n^2+4n+2
Quindi posso ridurla a :
2n^2+4n+2 somma di k= 3n^2+6n+3
K dato che è una sommatoria è uguale a :
(n)(n+1)/2
Solo dei numeri dispari diventa, il quadrato di n in quanto 2n-1 è l' ultimo in sequenza.
Quindi (n+1)(n+1)
Il due esterno alla sommatoria si moltiplica e moltiplichiamo anche n quindi resta:
3n^2+6n+3=3n^2+6n^2+3
Mi riprometto di farlo a breve.
Dunque primo passaggio
2n viene ripetuto per ogni valore della sommatoria. Quindi esternamente ad essa diventa:
2(n)^2 somma k-1= 3n^2
quindi aggiungendo +1
k-1=k e 2(n+1)^2=2n^2+4n+2
Quindi posso ridurla a :
2n^2+4n+2 somma di k= 3n^2+6n+3
K dato che è una sommatoria è uguale a :
(n)(n+1)/2
Solo dei numeri dispari diventa, il quadrato di n in quanto 2n-1 è l' ultimo in sequenza.
Quindi (n+1)(n+1)
Il due esterno alla sommatoria si moltiplica e moltiplichiamo anche n quindi resta:
3n^2+6n+3=3n^2+6n^2+3
ora dovrebbe essere corretto. Qualcuno può verificarlo? questo è solo il secondo che faccio.
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