Dubbio su un altro post
Ho un dubbio atroce sorto leggendo questo post (quoto), in realtà ho letto tutte le risposte ma non mi pare diano una vera risposta essendosi concentrate poi su qualcosa di diverso, l'op ha poi capito il dubbio ma io NO e cerco disperatamente aiuto.
Dimostrazione della derivata di funzione pari
In realtà non so aggiungere molto altro per far capire il problema ma mi sono arenato nello stesso punto leggendolo. Ho provato a scrivere nella discussione ma non ho ricevuto risposte e allora per evitare crossposting ho cancellato di la e scritto un nuovo messaggio.
In poche parole mi turba
$d/(dx)f(-x)$ chiamo $-x=y$ e quindi: $d/(dy)f(y)*d/(dx)y=d/(dy)f(y)*d/(dx)(-x)$ da qui è evidente che $d/(dx)(-x)$ sia -1 e rimane quindi $-d/(dy)f(y)$, il passaggio della dimostrazione è chiamare $d/(dy)f(y)$ come $f'(y)$ qui sorge il grosso probelma, che questa derivata è svolta in $y in RR$ e quindi è corretto chiamarla f'(y), ma se avessi una $y in A ⊂ R$ sarebbe ancora corretto chiamare quell'$d/(dy)f(y)$ come $f'(y)$, secondo me no, in quanto la funzione dipende anche dal suo dominio, quindi se chiamassi la derivata di una funzione che ha $t in R$: $f'(t)$ non sarebbe corretto chiamare anche $d/(dy)f(y)$=f'(x) con $y in R^+$ ad esempio. Andrebbe chiamata che so h'(y).
Sbaglio?
Dimostrazione della derivata di funzione pari
"alBABInetto":
sia f(x) pari allora
(1) $d/(dx)f(-x)=d/(dx)f(x)=f'(x)$ per parità
(2) tuttavia vale che $d/(dx)f(-x)=-f'(-x)$ per derivazione funzione composta
mettendo assieme: $f'(x)=-f'(-x)$ che è la definizione di funzione dispari (derivata prima)
Tuttavia qualcosa non mi torna infatti mi sembra applicare un "magheggio" errato, per derivazione della funzione composta avrei in (2):
$d/(dx)f(-x)$ chiamo $-x=y$ e quindi: $d/(dy)f(y)*d/(dx)y=d/(dy)f(y)*d/(dx)(-x)=-d/(dy)f(y)$ quindi quella che prima chiamavo -f'(-x) in realtà è $-d/(dy)f(y)=-g'(-x)$ perché non è la stessa f' trovata in (1) qui sto derivando f per dy, dovrei chiamarla g' (cioè con nome diverso) avendo derivato per dy e non per dx.
Insomma avrei $f'(x)=-g'(-x)$ e non come vorrei $f'(x)=-f'(-x)$.
In realtà non so aggiungere molto altro per far capire il problema ma mi sono arenato nello stesso punto leggendolo. Ho provato a scrivere nella discussione ma non ho ricevuto risposte e allora per evitare crossposting ho cancellato di la e scritto un nuovo messaggio.
In poche parole mi turba
$d/(dx)f(-x)$ chiamo $-x=y$ e quindi: $d/(dy)f(y)*d/(dx)y=d/(dy)f(y)*d/(dx)(-x)$ da qui è evidente che $d/(dx)(-x)$ sia -1 e rimane quindi $-d/(dy)f(y)$, il passaggio della dimostrazione è chiamare $d/(dy)f(y)$ come $f'(y)$ qui sorge il grosso probelma, che questa derivata è svolta in $y in RR$ e quindi è corretto chiamarla f'(y), ma se avessi una $y in A ⊂ R$ sarebbe ancora corretto chiamare quell'$d/(dy)f(y)$ come $f'(y)$, secondo me no, in quanto la funzione dipende anche dal suo dominio, quindi se chiamassi la derivata di una funzione che ha $t in R$: $f'(t)$ non sarebbe corretto chiamare anche $d/(dy)f(y)$=f'(x) con $y in R^+$ ad esempio. Andrebbe chiamata che so h'(y).
Sbaglio?
Risposte
consideriamo la funzione $f(x)=x^2$, che è ben definita ( e derivabile) per $x\in\mathbb(R)$, poniamo poi $x^2=y$, allora la funzione $f(y)=y$ è definita solo per $y\ge 0$ e derivabile.
Ora, il tuo problema è che non capisci che quando fai il cambio di variabile da $x$ a $y$, la variabile $y$ NON è indiependente dalla variabile $x$.
Il cambio di variabile è considerare una funzione dipendente dalla variabile precedente, cioè $y$ non è una semplice variabile, ma è una funzione dipendente da $x$: $y(x)=x^2$.
Dunque quando vai a derivare $f(y)$, questa la puoi derivare rispetto ad $y$, ottenendo $f'(y)=1$ e ometti il fatto che $y$ dipende da $x$.
Se invece vedi $f(y)=f(y(x))$ come dipendente da $x$, allora hai che $(df)/(dx)=(df)/(dy)\cdot (dy)/(dx)=2x$ definita per ogni $x\in\mathbb(R)$.
Devi avere ben chiara la differenza tra $y$ come variabile e $y(x)$ come funzione.
Detto ciò, non penso sia il caso di insistere oltre su questo punto, dato che c'è stata una più che amplia discussione (in cui si ripetevano davvero sempre le stesse cose) nel thread da te citato.
Se hai altri dubbi, ti consiglio fortemente di chiedere un ricevimento al tuo prof.
Ora, il tuo problema è che non capisci che quando fai il cambio di variabile da $x$ a $y$, la variabile $y$ NON è indiependente dalla variabile $x$.
Il cambio di variabile è considerare una funzione dipendente dalla variabile precedente, cioè $y$ non è una semplice variabile, ma è una funzione dipendente da $x$: $y(x)=x^2$.
Dunque quando vai a derivare $f(y)$, questa la puoi derivare rispetto ad $y$, ottenendo $f'(y)=1$ e ometti il fatto che $y$ dipende da $x$.
Se invece vedi $f(y)=f(y(x))$ come dipendente da $x$, allora hai che $(df)/(dx)=(df)/(dy)\cdot (dy)/(dx)=2x$ definita per ogni $x\in\mathbb(R)$.
Devi avere ben chiara la differenza tra $y$ come variabile e $y(x)$ come funzione.
Detto ciò, non penso sia il caso di insistere oltre su questo punto, dato che c'è stata una più che amplia discussione (in cui si ripetevano davvero sempre le stesse cose) nel thread da te citato.
Se hai altri dubbi, ti consiglio fortemente di chiedere un ricevimento al tuo prof.
Già ma tu ti fossilizzi nel rispondere su tutta la derivata, è ovvio che la chain rule tutta sia identica alla derivata iniziale. Io, e credo anche l'OP, stavo parlando del solo pezzo $(df)/(dy)$ c'è una bella differenza a parer mio.
E' ovvio che $(df)/(dy)*(dy)/(dx)$ si ariferita a x, ma il primo dei due fattori NO!
Quello è il punto..
E' ovvio che $(df)/(dy)*(dy)/(dx)$ si ariferita a x, ma il primo dei due fattori NO!
Quello è il punto..
Mi sembra che sia semplicemente confusione derivante dal mischiare la notazione di Leibniz e quella con \('\) per indicare la derivata. Sono cose che capitano, io ho passato un sacco di ore a confondermi così.
Ciao dissonance, grazie per l'intervento!
Mi rincuora non essere tanto stupido da essere l'unico ad essemri ingarbugliato in questa cosa.
L'unico problema però è che sono tanto stupido da non averla ancora capita. Il punto è che io vedo proprio sbagliato chiamare $(df)/(dy)=f'(y)$ in quanto di fatto y "lavora" in un ambiete diverso da quello per cui definisco una t qualunque (perché $t in RR$ ma in generale $y$ è in un sottoinsieme di $RR$.
Come dicevo:
Secondo te quindi come va risolta la cosa? A che conclusioni arrivasti?
Mi rincuora non essere tanto stupido da essere l'unico ad essemri ingarbugliato in questa cosa.
L'unico problema però è che sono tanto stupido da non averla ancora capita. Il punto è che io vedo proprio sbagliato chiamare $(df)/(dy)=f'(y)$ in quanto di fatto y "lavora" in un ambiete diverso da quello per cui definisco una t qualunque (perché $t in RR$ ma in generale $y$ è in un sottoinsieme di $RR$.
Come dicevo:
In poche parole mi turba
$d/(dx)f(-x)$ chiamo $-x=y$ e quindi: $d/(dy)f(y)*d/(dx)y=d/(dy)f(y)*d/(dx)(-x)$ da qui è evidente che $d/(dx)(-x)$ sia -1 e rimane quindi $-d/(dy)f(y)$, il passaggio della dimostrazione è chiamare $d/(dy)f(y)$ come $f'(y)$ qui sorge il grosso probelma, che questa derivata è svolta in $y in RR$ e quindi è corretto chiamarla f'(y), ma se avessi una $y in A ⊂ R$ sarebbe ancora corretto chiamare quell'$d/(dy)f(y)$ come $f'(y)$, secondo me no, in quanto la funzione dipende anche dal suo dominio, quindi se chiamassi la derivata di una funzione che ha $t in R$: $f'(t)$ non sarebbe corretto chiama
Secondo te quindi come va risolta la cosa? A che conclusioni arrivasti?
Arrivai alla conclusione che devi sbrogliartela da te. Devi sbatterci la testa da solo varie volte. Ti faranno arrabbiare cose che leggerai, che ti sembreranno sbagliatissime, eccetera. Come è successo a me un sacco di volte.
E' vero, nella notazione \(df/dy\) c'è una confusione di fondo, derivante da una vecchia interpretazione delle funzioni, Leibniz non aveva le definizioni moderne che usiamo oggi. Al tentare di interpretarla alla lettera è facile cadere in confusione, come sta succedendo a te ora.
Ma è anche una notazione comodissima, ti permette di ricordare velocemente la regola della catena, la formula di sostituzione negli integrali, e anche in dimensione superiore serve un sacco per il teorema della funzione inversa e implicita. Quindi niente, bisogna solo fare pratica e abituarsi a questa confusione.
E' vero, nella notazione \(df/dy\) c'è una confusione di fondo, derivante da una vecchia interpretazione delle funzioni, Leibniz non aveva le definizioni moderne che usiamo oggi. Al tentare di interpretarla alla lettera è facile cadere in confusione, come sta succedendo a te ora.
Ma è anche una notazione comodissima, ti permette di ricordare velocemente la regola della catena, la formula di sostituzione negli integrali, e anche in dimensione superiore serve un sacco per il teorema della funzione inversa e implicita. Quindi niente, bisogna solo fare pratica e abituarsi a questa confusione.
Certo, è verissimo che è solo una notaizone. Tuttavia il punto su cui mi incasto mi sembra dovuto ai domini e chiamare una derivata prima svolta rispetto a una variabile $y in R$ rispetto a una svolta di fatto in un generico $A$ che è generalmente sottoinsieme di R
Insomma, specializzando nell'esempio della dimostrazione per derivata di funzione pari che dievo all'inizio
Non mi sembra un problema puramente di notazione: non riesco a convincermi che chiamare quella roba f'(y) sia corretto, perché il dominio non coincide per forza. Ho compiuto una sostituzione e y "corre" in un insieme in geenrale ristretto.
Insomma, specializzando nell'esempio della dimostrazione per derivata di funzione pari che dievo all'inizio
sia f(x) pari allora
(1) $d/(dx)f(-x)=d/(dx)f(x)=f'(x)$ per parità
(2) tuttavia vale che $d/(dx)f(-x)=-f'(-x)$ per derivazione funzione composta
mettendo assieme: $f'(x)=-f'(-x)$ che è la definizione di funzione dispari (derivata prima)
Tuttavia qualcosa non mi torna infatti mi sembra applicare un "magheggio" errato, per derivazione della funzione composta avrei in (2):
$d/(dx)f(-x)$ chiamo $-x=y$ e quindi: $d/(dy)f(y)*d/(dx)y=d/(dy)f(y)*d/(dx)(-x)=-d/(dy)f(y)$ quindi quella che prima chiamavo -f'(-x) in realtà è $-d/(dy)f(y)=-g'(-x)$ perché non è la stessa f' trovata in (1) qui sto derivando f per dy, dovrei chiamarla g' (cioè con nome diverso) avendo derivato per dy e non per dx.
Insomma avrei $f'(x)=-g'(-x)$ e non come vorrei $f'(x)=-f'(-x)$.
Non mi sembra un problema puramente di notazione: non riesco a convincermi che chiamare quella roba f'(y) sia corretto, perché il dominio non coincide per forza. Ho compiuto una sostituzione e y "corre" in un insieme in geenrale ristretto.
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