Dubbio su trasformata di Laplace
Salve a tutti,
come è possibile verificare che se una funzione $ v(t)$ è dotata di trasformata di Laplace $ V(s) $ ed esiste il $\lim_{t \to \+infty}v(t) $, allora ciò equivale al fatto che la regione di convergenza di $s*V(s)$ con $s in CC$, contenga l'origine?
Grazie.
come è possibile verificare che se una funzione $ v(t)$ è dotata di trasformata di Laplace $ V(s) $ ed esiste il $\lim_{t \to \+infty}v(t) $, allora ciò equivale al fatto che la regione di convergenza di $s*V(s)$ con $s in CC$, contenga l'origine?
Grazie.
Risposte
Pensa in quale "formula" ottieni qualcosa della forma $s\cdot V(s)$ e ragionaci su.
Si può porre:
$lim_(t->+oo)(v(t)) = M in CC$
Voglio ora ricavare $L((d v(t))/dt)$ cioé la trasformata di Laplace della derivata, e posso farlo integrando per parti, ottenendo:
$\int_0^(+oo)v'(t)e^(-st) dt = [v(t)e^(-st)]_0^(+oo) + sV(s)$
In particolare considero l'ultimo addendo e scrivo $s = a+i*b $ con $ a,b in RR$. Cerco quindi per quali valori di $a$ quell'addendo mi da zero:
$[v(t)e^((-a-ib)t)]_0^(+oo)=M*e^((-a-ib)t) $ con $t->+oo$. Ed esso è nullo se e solo se $a>0$
Questo è il ragionamento che ho fatto sulla "formula" in cui mi compare $sV(s)$ ma non ne vengo a capo. Come procedo?
$lim_(t->+oo)(v(t)) = M in CC$
Voglio ora ricavare $L((d v(t))/dt)$ cioé la trasformata di Laplace della derivata, e posso farlo integrando per parti, ottenendo:
$\int_0^(+oo)v'(t)e^(-st) dt = [v(t)e^(-st)]_0^(+oo) + sV(s)$
In particolare considero l'ultimo addendo e scrivo $s = a+i*b $ con $ a,b in RR$. Cerco quindi per quali valori di $a$ quell'addendo mi da zero:
$[v(t)e^((-a-ib)t)]_0^(+oo)=M*e^((-a-ib)t) $ con $t->+oo$. Ed esso è nullo se e solo se $a>0$
Questo è il ragionamento che ho fatto sulla "formula" in cui mi compare $sV(s)$ ma non ne vengo a capo. Come procedo?
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