Dubbio su teoria dell'integrazione per sostituzione
Il mio libro di testo dice:
Ora, non riesco a capire perché viene tirata in ballo quest'ultima definizione di differenziale e, più in generale, quale sia il ruolo del differenziale nel calcolo degli integrali (qualora ce l'abbia).
Mi auguro di non aver domandato assurdità, e ringrazio anticipatamente.
EDIT: corretto un errore.
La regola di derivazione delle funzioni composte e quella delle funzioni inverse suggeriscono una tecnica di integrazione per sostituzione. Il procedimento è il seguente:
Si debba calcolare $\int f(x)dx$ cioè si debba determinare una primitiva di $f(x)$.
Scelta allora una qualsiasi funzione derivabile (con derivata continua) $x=g(t)$ con il vincolo di conoscerne anche l'inversa $t=g^(-1)(x)$, si consideri il nuovo problema del calcolo dell'integrale $\int {f[g(t)]*g'(t)}dt$, dove $dx=g'(t)dt$.
Ora, non riesco a capire perché viene tirata in ballo quest'ultima definizione di differenziale e, più in generale, quale sia il ruolo del differenziale nel calcolo degli integrali (qualora ce l'abbia).
Mi auguro di non aver domandato assurdità, e ringrazio anticipatamente.
EDIT: corretto un errore.
Risposte
Urang-utang®! 
Quello di scrivere $dx=g'(t)dt$ è, oggi, solo un trucco mnemonico (utilissimo, tra l'altro) per ricordarsi la formula di integrazione per sostituzione. Una volta si dava a queste scritture un significato formale: $int_a^b f(x)dx$ era la somma delle quantità infinitesime $f(x)dx$, ovvero le aree dei rettangolini di altezza $f(x)$ e base infinitesima $dx$. Cambiando variabile, mediante la relazione $x=g(t)$, il fattore $f(x)$ si trasforma in $f(g(t))$, ma anche la base $dx$ cambia. Infatti l'incremento infinitesimo $dx$ si trasforma nell'incremento infinitesimo $dg$; siccome $g$ è funzione della variabile $t$ questo incremento si esprime in funzione di $t$ come $dg=g'(t)dt$. Detti $A=g(a), B=g(b)$, è allora
$int_a^b f(x)dx=int_A^B f(g(t))g'(t)dt$.
Ora succede che questa formula è vera, per quanto ci siamo arrivati per via metafisica. Via metafisica che ha anche il pregio di un maggiore appeal intuitivo. Per questi due motivi fisici e ingegneri continuano ad usare questa strada, e conviene che anche un matematico sappia compiere queste acrobazie intellettuali pur sapendo che sono solo aiuti alla memoria e all'intuizione e non hanno rigore formale.
Quello di scrivere $dx=g'(t)dt$ è, oggi, solo un trucco mnemonico (utilissimo, tra l'altro) per ricordarsi la formula di integrazione per sostituzione. Una volta si dava a queste scritture un significato formale: $int_a^b f(x)dx$ era la somma delle quantità infinitesime $f(x)dx$, ovvero le aree dei rettangolini di altezza $f(x)$ e base infinitesima $dx$. Cambiando variabile, mediante la relazione $x=g(t)$, il fattore $f(x)$ si trasforma in $f(g(t))$, ma anche la base $dx$ cambia. Infatti l'incremento infinitesimo $dx$ si trasforma nell'incremento infinitesimo $dg$; siccome $g$ è funzione della variabile $t$ questo incremento si esprime in funzione di $t$ come $dg=g'(t)dt$. Detti $A=g(a), B=g(b)$, è allora $int_a^b f(x)dx=int_A^B f(g(t))g'(t)dt$.
Ora succede che questa formula è vera, per quanto ci siamo arrivati per via metafisica. Via metafisica che ha anche il pregio di un maggiore appeal intuitivo. Per questi due motivi fisici e ingegneri continuano ad usare questa strada, e conviene che anche un matematico sappia compiere queste acrobazie intellettuali pur sapendo che sono solo aiuti alla memoria e all'intuizione e non hanno rigore formale.
Facendo il punto della situazione:
1. $dx=g'(x)dt$ è una notazione utile per richiamare alla mente la regola dell'integrazione per sostituzione, ma la formulazione corretta, visto che $g$ è funzione di $t$ (e considerando ciò che il mio libro dice), sarebbe $dx=g'(t)dt$ (?);
2. Ho capito perfettamente il discorso sull'integrale definito, pur non avendolo ancora affrontato a scuola;
3. Non mi è infine chiara la motivazione per cui l'incremento nella nuova variabile $t$ sia proprio $g'(t)dt$.
EDIT: l'osservazione 1 non ha più raison d'etre giacché scaturita da un errore di battitura nel post iniziale.
1. $dx=g'(x)dt$ è una notazione utile per richiamare alla mente la regola dell'integrazione per sostituzione, ma la formulazione corretta, visto che $g$ è funzione di $t$ (e considerando ciò che il mio libro dice), sarebbe $dx=g'(t)dt$ (?);
2. Ho capito perfettamente il discorso sull'integrale definito, pur non avendolo ancora affrontato a scuola;
3. Non mi è infine chiara la motivazione per cui l'incremento nella nuova variabile $t$ sia proprio $g'(t)dt$.
EDIT: l'osservazione 1 non ha più raison d'etre giacché scaturita da un errore di battitura nel post iniziale.
Partiamo dalla 3. Quanto vale la derivata della $g$ fatta rispetto a $t$? Vale
$g'(t)=frac{dg}{dt}$;
ma allora, moltiplicando per $dt$ (!) si ottiene
$g'(t)dt=dg$.
Formalmente è tutto privo di senso, si intende. Anche qui, arnesi del passato che oggi sono solo (utili) trucchi mnemonici. Mentre invece il tuo punto 1. è proprio un errore: la formula corretta è $dx=g'(t)dt$.
$g'(t)=frac{dg}{dt}$;
ma allora, moltiplicando per $dt$ (!) si ottiene
$g'(t)dt=dg$.
Formalmente è tutto privo di senso, si intende. Anche qui, arnesi del passato che oggi sono solo (utili) trucchi mnemonici. Mentre invece il tuo punto 1. è proprio un errore: la formula corretta è $dx=g'(t)dt$.
Ah ecco, adesso mi sono accorto. C'è un errore, probabilmente di stampa o di battitura, nel testo originale.
Me ne sono appena accorto anche io; l'errore è di battitura, mea culpa (tra l'altro una delle perplessità era causata proprio da quell'errore! Devo farmi un promemoria: controllare sempre maniacalmente i dettagli). Già stavo accusando il libro di essere fuorviante 
Comunque ti ringrazio, sei stato molto preciso e dettagliato. Preferisco chiarire alcuni passaggi che sul libro non sono enunciati perché mi scoccia vedere tutto (o quasi) apparire ex nihilo.
Di nuovo grazie.
Comunque ti ringrazio, sei stato molto preciso e dettagliato. Preferisco chiarire alcuni passaggi che sul libro non sono enunciati perché mi scoccia vedere tutto (o quasi) apparire ex nihilo.
Di nuovo grazie.
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