Dubbio su teorema permanenza del segno.
Studio il teorema di Fermat sui punti stazionari, e la dimostrazione che ho io, quella classica, mi fa sorgere una domanda relativamente al teorema della permanenza del segno. Sia \(\displaystyle f(x) \) una funzione, e sia positiva in un dato intorno di un punto di accumulazione al suo dominio, che chiamerò \(\displaystyle x_0 \).
Il teorema di Fermat fa affermare che la positività del valore della funzione in questo intorno dimostra la positività del limite
$ lim_{x->x_0}f(x) $
Ma, domanda: il teorema della permanenza del segno non dice il contrario, cioè che, esistendo il limite ed essendo positivo, c'è anche l'intorno di $x_0$ (non considerato "da solo", ma facendo tutte le intersezioni necessarie) per cui $f(x)$ è positivo?
Come dimostro l'inverso?
Il teorema di Fermat fa affermare che la positività del valore della funzione in questo intorno dimostra la positività del limite
$ lim_{x->x_0}f(x) $
Ma, domanda: il teorema della permanenza del segno non dice il contrario, cioè che, esistendo il limite ed essendo positivo, c'è anche l'intorno di $x_0$ (non considerato "da solo", ma facendo tutte le intersezioni necessarie) per cui $f(x)$ è positivo?
Come dimostro l'inverso?
Risposte
Se riporti l'enunciato e la dimostrazione nel dettaglio è meglio.
Certo, scusate se non l'ho fatto prima. E' una definizione di mio pugno, visto che le versioni, paradossalmente (si tratta di un teorema base dei limiti su cui non dovrebbero esserci "intepretazioni") sono sempre diverse. Tuttavia, credo sia quella che più si avvicini ai miei scopi.
Sia $f : RR \to RR$ una funzione e esista il limite $lim_(x \to c) f(x)$. Supponiamo che il valore del limite sia $l != 0$. Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ per cui si abbia che per ogni $x \in X \cap U$, $ f(x)$ ha lo stesso segno del limite.
Dimostrazione:
Per ipotesi, è $lim_(x \to c) f(x) = l $. Per cui, scelto un $\epsilon > 0 $, si avrà : $|f(x) - l| < \epsilon \to l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon$.
Se scegliamo $ \epsilon = |l|/2 $, si avrà
$ l - |l|/2 < f(x) < l + |l|/2 \to f(x) < l + |l|/2 (1) \wedge f(x) > l - |l|/2 (2) $
Se $l > 0$, si avrà, in base alla (2): $f(x) > l - l/2 \to f(x) > l/2$, e quindi $f(x)$ risulta positiva per tutti gli $x$ dell'intersezione di intorni sopra considerata;
Se $l < 0$, si avrà, in base alla (1) : $f(x) < l - l/2 \to f(x) > l/2$, e quindi $f(x)$ risulta negativa per tutti gli $x$ dell'intersezione di intorni sopra considerata.
Credo sia tutto
.
Sia $f : RR \to RR$ una funzione e esista il limite $lim_(x \to c) f(x)$. Supponiamo che il valore del limite sia $l != 0$. Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ per cui si abbia che per ogni $x \in X \cap U$, $ f(x)$ ha lo stesso segno del limite.
Dimostrazione:
Per ipotesi, è $lim_(x \to c) f(x) = l $. Per cui, scelto un $\epsilon > 0 $, si avrà : $|f(x) - l| < \epsilon \to l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon$.
Se scegliamo $ \epsilon = |l|/2 $, si avrà
$ l - |l|/2 < f(x) < l + |l|/2 \to f(x) < l + |l|/2 (1) \wedge f(x) > l - |l|/2 (2) $
Se $l > 0$, si avrà, in base alla (2): $f(x) > l - l/2 \to f(x) > l/2$, e quindi $f(x)$ risulta positiva per tutti gli $x$ dell'intersezione di intorni sopra considerata;
Se $l < 0$, si avrà, in base alla (1) : $f(x) < l - l/2 \to f(x) > l/2$, e quindi $f(x)$ risulta negativa per tutti gli $x$ dell'intersezione di intorni sopra considerata.
Credo sia tutto
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Credo di aver risolto, comunque, riguardo al teorema di Fermat e al dubbio proposto. Si ragiona per assurdo, vero?
1) Non capisco cosa c'entri il teorema di Fermat (suppongo che sia quello sui punti stazionari).
2) Il teorema sulla permanenza del segno mi sembra quello più adatto, tanto che:
3) Quello che vuoi dimostrare è la stessa cosa del teorema sulla permanenza del segno.
2) Il teorema sulla permanenza del segno mi sembra quello più adatto, tanto che:
3) Quello che vuoi dimostrare è la stessa cosa del teorema sulla permanenza del segno.
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