Dubbio su teorema di analisi

[fransis2]

Ripassando gli appunti ho trovato un teorema che dice che se $f$ è una funzione integrabile in $[a,b]$ per ogni $b>=a$ e se $|f|$ è integrabile da $a$ a infinito allora lo è anche $f$ da $a$ a infinito. Però se considero la funzionef(x) tale che f(x)=1 se x appartiene all'intervallo [n-1/n^2,n] e n è dispari, f(x)=-1 se x appartiene a [n-1/n^2,n] e n è pari, f(x)=0 altrimenti, ho che l'integrale di |f| mi si riconduce alla serie di 1/(n^2) che converge mentre la funzione integrale da $a$ a x di f ha come massimo limite 1 e minimo limite 0. Quindi non ammette limite, per cui non è integrabile. Dov'è che sbaglio?

[ViciousGoblin]

La tua funzione è integrabile (se decifro bene le tue formule) -
una funzione $f$ può benissimo essere integrabile
in $[a,+infty[$ senza che esista il limite $\lim_{x\to+\infty} f(x)$; quello che deve esistere è il
limite $\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x) dx$.

[fransis2]

"ViciousGoblinEnters":La tua funzione è integrabile (se decifro bene le tue formule) -
una funzione $f$ può benissimo essere integrabile
in $[a,+infty[$ senza che esista il limite $\lim_{x\to+\infty} f(x)$; quello che deve esistere è il
limite $\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x) dx$.

si hai ragione, il fatto è che stavo pensando che il limite che tu dici non esistesse poichè per qualche strana ragione stavo pensando che le aree dei rettangolini fossero tutte uguali in valore assoluto per cui l'integrale di f da $a$ a $b$ passasse da o a 1. Ok. Sui miei appunti e sul mio libro di testo viene dimostrato che l'integrale di f è minore uguale dell'integrale di |f| (ovvio) però mi sembra che non basti a dire che l'integrale di f abbia limite. Potrebbe non averlo, o meglio, bisognerebbe dimostrare che ce l'ha. Come si potrebbe fare a dimostrare ciò? potreste postare una dimostrazione di questo teorema, per favore?

[ViciousGoblin]

Sui miei appunti e sul mio libro di testo viene dimostrato che l'integrale di f è minore uguale dell'integrale di |f| (ovvio) però mi sembra che non basti a dire che l'integrale di f abbia limite. Potrebbe non averlo, o meglio, bisognerebbe dimostrare che ce l'ha. Come si potrebbe fare a dimostrare ciò? potreste postare una dimostrazione di questo teorema, per favore?

Hai ragione che non basta (anche perché non ha senso dire che l'integrale di $f$ è minore di qualcosa se non si sa
che l'integrale esiste. Controlla bene ciò che dice il libro.

Per dimostrare che l'integrabilità del modulo ("integrabilità assoluta") implica l'integrabilità conosco due modi

1) dimostrare che la funzione $F(x):=\int_a^x f(t) dt $ verifica la proprietà di Cauchy all'infinito ammesso che l'altra funzione
$G(x):= \int_a^x |f(t)| dt$ la verifichi. Questo segue dalla disuguaglianza:

$|F(x)-F(y)|=|\int_x^yf(t) dt|\leq\int_x^y|f(t)| dt=|G(x)-G(y)|$ per ogni coppia $x\leq y$

Da qui si ragiona così:

$|f|$ integr. implica $G$ converge, implica $G$ di Cauchy, implica $F$ di Cauchy, implica $F$ converge , implica $f$ integrabile

2) usando le parti positiva $f^+$ e negativa $f^-$ di $f$, che verificano

$f^+ \geq0$, $f^{-} \geq0$, $f=f^+ -f^-$ $|f|=f^+f^-|$

Se $|f|$ è integrabile allora, per il criterio del confronto sia $f^+$ che $f^-$ lo sono, da cui per differenza di funzioni
integrabili anche $f$ è integrabile.

La seconda dimostrazione appare più elementare (anche se sotto sotto c'è sempre la completezza di $RR$,
nascosta nel criterio del confronto). La prima dimostrazione mette più in luce il ruolo della competezza ed è generalizzabile
(a differenza della seconda) al caso di funzioni a valore in $RR^n$ (o peggio) quindi in prospettiva è utile conoscerla.